Ожидание числа безбилетников

[2old]

По маршруту ходит $N$ автобусов без кондуктора. В каждом автобусе имеется касса, в которой перед выходом на рейс было $r$ билетов. Всего эти автобусы перевезли $n$ пассажиров. Найти математическое ожидание числа $\xi$ пассажиров, которым не досталось билетов, предполагая, что каждый пассажир независимо от остальных может сесть в любой из автобусов с одной и той же вероятностью $\frac{1}{N}$ .

Я решал так:

Пусть $X_i$ это число пассажиров, которое село в $i$ автобус. Для каждого пассажира мы проводим испытание Бернулли, с вероятность $\frac{1}{N}$ в испытании пассажир сел в $i$ автобус, с вероятностью $(1-\frac{1}{N})$ в другой. Тогда

$$ P(X_i=k)=\binom{n}{k}\frac{1}{N}^k(1-\frac{1}{N})^{n-k} $$

Пусть $Y_i$ число пассажиров без билетов в автобусе $i$. Тогда:

$$ Y_i=\left\{\begin{matrix} X_i-r &, X_i>r \\ 0 &, X_i\leq r \end{matrix}\right. $$

Найдем м.о. для $Y_1$:

$$ \mathbb{E}Y_1=\sum\limits_{k=r+1}^{n}k\binom{n}{k}\frac{1}{N}^k(1-\frac{1}{N})^{n-k} $$

Тогда математическое ожидание числа $\xi$ пассажиров, которым не досталось билетов:

$$ N\sum\limits_{k=r+1}^{n}k\binom{n}{k}\frac{1}{N}^k(1-\frac{1}{N})^{n-k} $$

Верно?

[Brukvalub]

2old в сообщении #1083079 писал(а):

Найдем м.о. для $Y_1$:

$$ \mathbb{E}Y_1=\sum\limits_{k=r+1}^{n}k\binom{n}{k}\frac{1}{N}^k(1-\frac{1}{N})^{n-k} $$

Вот здесь непонятно. Почему вероятность умножается на общее число людей в автобусе?

[2old]

Brukvalub
Надо на $k-r$, описался, спасибо

Тогда математическое ожидание числа $\xi$ пассажиров, которым не досталось билетов:

$$ N\sum\limits_{k=r+1}^{n}(k-r)\binom{n}{k}\frac{1}{N}^k(1-\frac{1}{N})^{n-k} $$