tetricka12Можно так поступить.
Пусть

,

-- базис на декартовой плоскости. Рассмотрим отображение

, заданное формулой

(

и

-- координаты в данном базисе).
Докажите, что оно непрерывно.
Докажите, что для любой петли
![$\gamma:[0;1]\to T^2$ $\gamma:[0;1]\to T^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/1/2e1fd476583938beda9d2f6c91c07ecc82.png)
, для которой

, для любой пары целых чисел

, существует единственный путь
![$\Gamma^\gamma_{m,n}:[0;1]\to \mathbb{R}^2$ $\Gamma^\gamma_{m,n}:[0;1]\to \mathbb{R}^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/7/d17a7db4ab869bab069a8bf4a3538c6982.png)
, начинающийся в точке

:

и накрывающий путь

:

. В частности, любой такой петле

можно поставить в соответствие пару целых чисел

-- координаты точки

.
Осталось доказать, что для гомотопных петель эти координаты совпадают, и заметить, что

.
Таким образом устанавливается изоморфизм между группой

и решеткой

.