2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 15:34 


14/10/15
120
Составить уравнение бисекторной плоскости того двугранного угла между плоскостями $$3x-7y+z-3=0$$, $$x-9y-2z+5=0$$, в котором лежит точка $M(0;0;1)$

Изображение

Через векторное произвдение нашел вектор, который перпендикулярен всем трем полскостям, это вектор $(23;7;-20)$.

Можно найти линию пересечения этих плоскостей, решив систему из двух уравнений $3x-7y+z-3=0$, $x-9y-2z+5=0$,

Пока что дальше делать -- не очевидно.

Биссекторная плоскость - (от лат. bissector - «на двое рассекающий») плоскость выходящая из ребра двугранного угла, которая делит его на два равных двугранных угла.

Почему-то еще плохо отображаются уравнения, к сожалению

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 15:41 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
mr.tumkan2015 в сообщении #1080603 писал(а):
нашел вектор, который перпендикулярен всем трем полскостям
Маленькая проблемка: если вектор перпендикулярен нескольким плоскостям, у означенных плоскостей нет иного выбора как быть перпендикулярными этому самому вектору, сиречь параллельными друг другу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 15:44 


14/10/15
120
iifat в сообщении #1080608 писал(а):
mr.tumkan2015 в сообщении #1080603 писал(а):
нашел вектор, который перпендикулярен всем трем полскостям
Маленькая проблемка: если вектор перпендикулярен нескольким плоскостям, у означенных плоскостей нет иного выбора как быть перпендикулярными этому самому вектору, сиречь параллельными друг другу...

Вы правы, я нашел направляющий вектор прямой, которая является линией пересечения плоскостей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 15:49 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
А как, кстати говоря, посчитать величину угла между двумя плоскостями?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
Подсказка: точки бисекторной плоскости равноудалены от сторон угла, для которого строится бисекторная плоскость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 18:45 


14/10/15
120
iifat в сообщении #1080610 писал(а):
А как, кстати говоря, посчитать величину угла между двумя плоскостями?

Градусная мера двугранного угла между плоскостями совпадает с градусной мерой линейного угла. Линейный угол -- это угол между перпендикулярами к линии пересечения.
Еще Градусная мера двугранного угла между плоскостями совпадает с углом между нормалями к этим плоскостям.
Но как это все поможет?

-- 08.12.2015, 18:49 --

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
mr.tumkan2015
Не надо градусов. Примените совет Brukvalub. Расстояние до плоскости находить умеете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 18:52 


14/10/15
120
Brukvalub в сообщении #1080625 писал(а):
Подсказка: точки бисекторной плоскости равноудалены от сторон угла, для которого строится бисекторная плоскость.


Хорошо, спасибо. Возьмем точку на искомой плоскости, обозначим ее координаты $M(x_0,y_0,z_0)$

Расстояние от точки $M(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости $$3x-7y+z-3=0$$ равно $d=\dfrac{|3x_0-7y_0+z_0-3|}{\sqrt{9+49+1}}$

Расстояние от точки $M(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости $$x-9y-2z+5=0$$ равно $d=\dfrac{|1x_0-9y_0-2z_0+5|}{\sqrt{1+81+4}}$

Тогда $\dfrac{|3x_0-7y_0+z_0-3|}{\sqrt{9+49+1}}=\dfrac{|1x_0-9y_0-2z_0+5|}{\sqrt{1+81+4}}$

Далее домножаем на эти корни и получаем уравнение плоскости, проделав тождественные преобразования?

Извините за формат, почему-то в одинарных долларах не отображается адекватно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
Как минимум, нужно убрать нолики и раскрыть модули так, чтобы попасть в тот угол, где
mr.tumkan2015 в сообщении #1080603 писал(а):
лежит точка $M(0;0;1)$

(вычисления я не проверял).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 19:00 


14/10/15
120
Brukvalub в сообщении #1080663 писал(а):
Как минимум, нужно убрать нолики и раскрыть модули так, чтобы попасть в тот угол, где
mr.tumkan2015 в сообщении #1080603 писал(а):
лежит точка $M(0;0;1)$

(вычисления я не проверял).

Спасибо! А идейно -- верно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 19:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
Идейно - верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение08.12.2015, 19:56 
Аватара пользователя


11/08/11
1125
Правильность ответа, кстати, можно будет проверить эмпирически: взять две точки на прямой пересечения плоскостей из условия и проверить, лежат ли они на плоскости из ответа. Затем взять любую точку на плоскости из ответа (так, чтобы она не лежала на той прямой пересечения) и проверить, действительно ли расстояния от нее до заданных плоскостей равны.

Если все сошлось, можно откупорить бутылочку кьянти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение09.12.2015, 03:00 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
mr.tumkan2015 в сообщении #1080654 писал(а):
Градусная мера двугранного угла между плоскостями совпадает с углом между нормалями к этим плоскостям.
Но как это все поможет?
Ну, если поразмыслить над вот этим последним определением, можно домыслиться и до вектора нормали к искомой плоскости, вообще-то.
provincialka в сообщении #1080658 писал(а):
Примените совет Brukvalub
Ну, на всякий случай: разумеется, есть много способов решить задачу. Выбор промеж ими — дело вкуса.
INGELRII в сообщении #1080697 писал(а):
Если все сошлось, можно откупорить бутылочку кьянти
Не стоит. Таких задач предстоит решить ещё столько, что если на каждую по бутылочке кьянти открывать... Не стоит, право же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение09.12.2015, 09:21 
Аватара пользователя


11/08/11
1125
iifat

(Оффтоп)

Где же Вы были с этим советом, когда я учился в институте... эх...

 Профиль  
                  
 
 Re: Бисекторная плоскость.
Сообщение07.12.2021, 06:47 


05/02/14
1
Уравнения биссекторных плоскостей двугранного угла получаются одно суммой, а другое разностью образующих угол плоскостей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group