Бисекторная плоскость.

[mr.tumkan2015]

Составить уравнение бисекторной плоскости того двугранного угла между плоскостями

$$3x-7y+z-3=0$$

,

$$x-9y-2z+5=0$$

, в котором лежит точка $M(0;0;1)$



Через векторное произвдение нашел вектор, который перпендикулярен всем трем полскостям, это вектор $(23;7;-20)$.

Можно найти линию пересечения этих плоскостей, решив систему из двух уравнений $3x-7y+z-3=0$, $x-9y-2z+5=0$,

Пока что дальше делать -- не очевидно.

Биссекторная плоскость - (от лат. bissector - «на двое рассекающий») плоскость выходящая из ребра двугранного угла, которая делит его на два равных двугранных угла.

Почему-то еще плохо отображаются уравнения, к сожалению

[iifat]

mr.tumkan2015 в сообщении #1080603 писал(а):

нашел вектор, который перпендикулярен всем трем полскостям

Маленькая проблемка: если вектор перпендикулярен нескольким плоскостям, у означенных плоскостей нет иного выбора как быть перпендикулярными этому самому вектору, сиречь параллельными друг другу...

[mr.tumkan2015]

iifat в сообщении #1080608 писал(а):

mr.tumkan2015 в сообщении #1080603 писал(а):

нашел вектор, который перпендикулярен всем трем полскостям

Маленькая проблемка: если вектор перпендикулярен нескольким плоскостям, у означенных плоскостей нет иного выбора как быть перпендикулярными этому самому вектору, сиречь параллельными друг другу...

Вы правы, я нашел направляющий вектор прямой, которая является линией пересечения плоскостей.

[iifat]

А как, кстати говоря, посчитать величину угла между двумя плоскостями?

[Brukvalub]

Подсказка: точки бисекторной плоскости равноудалены от сторон угла, для которого строится бисекторная плоскость.

[mr.tumkan2015]

iifat в сообщении #1080610 писал(а):

А как, кстати говоря, посчитать величину угла между двумя плоскостями?

Градусная мера двугранного угла между плоскостями совпадает с градусной мерой линейного угла. Линейный угол -- это угол между перпендикулярами к линии пересечения.
Еще Градусная мера двугранного угла между плоскостями совпадает с углом между нормалями к этим плоскостям.
Но как это все поможет?

-- 08.12.2015, 18:49 --

[provincialka]

mr.tumkan2015
Не надо градусов. Примените совет Brukvalub. Расстояние до плоскости находить умеете?

[mr.tumkan2015]

Brukvalub в сообщении #1080625 писал(а):

Подсказка: точки бисекторной плоскости равноудалены от сторон угла, для которого строится бисекторная плоскость.

Хорошо, спасибо. Возьмем точку на искомой плоскости, обозначим ее координаты $M(x_0,y_0,z_0)$

Расстояние от точки $M(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости

$$3x-7y+z-3=0$$

равно $d=\dfrac{|3x_0-7y_0+z_0-3|}{\sqrt{9+49+1}}$

Расстояние от точки $M(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости

$$x-9y-2z+5=0$$

равно $d=\dfrac{|1x_0-9y_0-2z_0+5|}{\sqrt{1+81+4}}$

Тогда $\dfrac{|3x_0-7y_0+z_0-3|}{\sqrt{9+49+1}}=\dfrac{|1x_0-9y_0-2z_0+5|}{\sqrt{1+81+4}}$

Далее домножаем на эти корни и получаем уравнение плоскости, проделав тождественные преобразования?

Извините за формат, почему-то в одинарных долларах не отображается адекватно.

[Brukvalub]

Как минимум, нужно убрать нолики и раскрыть модули так, чтобы попасть в тот угол, где

mr.tumkan2015 в сообщении #1080603 писал(а):

лежит точка $M(0;0;1)$

(вычисления я не проверял).

[mr.tumkan2015]

Brukvalub в сообщении #1080663 писал(а):

Как минимум, нужно убрать нолики и раскрыть модули так, чтобы попасть в тот угол, где

mr.tumkan2015 в сообщении #1080603 писал(а):

лежит точка $M(0;0;1)$

(вычисления я не проверял).

Спасибо! А идейно -- верно ли?

[Brukvalub]

Идейно - верно.

[INGELRII]

Правильность ответа, кстати, можно будет проверить эмпирически: взять две точки на прямой пересечения плоскостей из условия и проверить, лежат ли они на плоскости из ответа. Затем взять любую точку на плоскости из ответа (так, чтобы она не лежала на той прямой пересечения) и проверить, действительно ли расстояния от нее до заданных плоскостей равны.

Если все сошлось, можно откупорить бутылочку кьянти.

[iifat]

mr.tumkan2015 в сообщении #1080654 писал(а):

Градусная мера двугранного угла между плоскостями совпадает с углом между нормалями к этим плоскостям.
Но как это все поможет?

Ну, если поразмыслить над вот этим последним определением, можно домыслиться и до вектора нормали к искомой плоскости, вообще-то.

provincialka в сообщении #1080658 писал(а):

Примените совет Brukvalub

Ну, на всякий случай: разумеется, есть много способов решить задачу. Выбор промеж ими — дело вкуса.

INGELRII в сообщении #1080697 писал(а):

Если все сошлось, можно откупорить бутылочку кьянти

Не стоит. Таких задач предстоит решить ещё столько, что если на каждую по бутылочке кьянти открывать... Не стоит, право же.

[INGELRII]

iifat

(Оффтоп)

Где же Вы были с этим советом, когда я учился в институте... эх...

[eusi]

Уравнения биссекторных плоскостей двугранного угла получаются одно суммой, а другое разностью образующих угол плоскостей.