2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на площадь, доказательство.
Сообщение08.12.2015, 15:09 


14/10/15
120
На сторонах $AD$ и $DC$ паралелограмма ABCD взяли точки $M$ и $N$ так что $MN\parralel AC$. Доказать, что $S_{ABM}=S_{BNC}$.

Изображение

Я сразу вижу подобные треугольники $DMN$ и $ADC$. Тогда $AC:MN=AD:MD=CD:DN$.

Но отношения сторон ничего не дают. Общих высот нет, подскажите, плиз, за что зацепиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение08.12.2015, 15:32 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
Вторую диагональ проведите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение08.12.2015, 15:39 


14/10/15
120
iifat в сообщении #1080602 писал(а):
Вторую диагональ проведите.

Спасибо, провел, не помогло

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение08.12.2015, 15:50 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
Ну, назовите мне десять сколько сможете равновеликих треугольников.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение08.12.2015, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Прямая $BN$ делит треугольник $BCD$, а прямая $BM$ -- треугольник $ABD$. Каковы эти треугольники? Как их "делят"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение08.12.2015, 21:38 


14/10/15
120
provincialka в сообщении #1080631 писал(а):
Прямая $BN$ делит треугольник $BCD$, а прямая $BM$ -- треугольник $ABD$. Каковы эти треугольники? Как их "делят"?

Спасибо Кажется понял! Они равны (по трем сторонам), площади равны. Делят на треугольники с равным коэффициентом подобия. Значит те самые треугольники из условия равны! Спасибо, понял!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 09:28 
Аватара пользователя


28/01/14
349
Москва
А ещё $BD$ - это медиана треугольников $MBN$ и $MDN$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 09:38 
Заслуженный участник


12/09/10
1538
mr.tumkan2015 в сообщении #1080740 писал(а):
Значит те самые треугольники из условия равны!

Неужели? В $\triangle ABM$ не вижу ни одной стороны, которая даже теоретически могла бы равняться $BC$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 10:53 


14/10/15
120
Вот что имелось ввиду, может криво выразился...

$\Delta {ABD}=\Delta {CBD}$

Пусть $\dfrac{AC}{MN}=k$

$\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABM}}=\dfrac{kMD}{(k-1)MD}=\dfrac{k}{k-1}$

$\dfrac{S_{CBD}}{S_{BNC}}=\dfrac{kDN}{(k-1)DN}=\dfrac{k}{k-1}$

$\dfrac{S_{CBD}}{S_{BNC}}=\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABM}}$

$S_{BNC}=S_{ABM}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5015
Нов-ск
$B \to C, \;\; M \to N \;\; A \to B$
После таких передвижений (которые не меняют площадь $ABM$) оба треугольника совпадут, поэтому имеют одинаковую площадь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 14:12 


14/10/15
120
TOTAL в сообщении #1080850 писал(а):
$B \to C, \;\; M \to N \;\; A \to B$
После таких передвижений (которые не меняют площадь $ABM$) оба треугольника совпадут, поэтому имеют одинаковую площадь.

Спасибо! А мое решение -- верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 14:35 
Аватара пользователя


11/08/11
1125
Легко заметить, что если двигать точку $B$ на резиночке параллельно прямой $AC$ (и соответственно точку $D$, чтобы $ABCD$ оставался параллелограммом), то площади треугольников $BAM, BCN$ при этом не меняются. Тогда сдвигом превратим параллелограмм в ромб, после чего равенство площадей треугольников станет очевидно.

Или же сдвигом превращаем параллелограмм в такой же, но зеркально симметричный. Тоже очевидно равенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 14:55 


14/10/15
120
INGELRII в сообщении #1080876 писал(а):
Легко заметить, что если двигать точку $B$ на резиночке параллельно прямой $AC$ (и соответственно точку $D$, чтобы $ABCD$ оставался параллелограммом), то площади треугольников $BAM, BCN$ при этом не меняются. Тогда сдвигом превратим параллелограмм в ромб, после чего равенство площадей треугольников станет очевидно.

Или же сдвигом превращаем параллелограмм в такой же, но зеркально симметричный. Тоже очевидно равенство.

Спасибо! А мое решение -- верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 15:14 
Аватара пользователя


28/01/14
349
Москва
INGELRII в сообщении #1080876 писал(а):
Легко заметить, что если двигать точку $B$ на резиночке параллельно прямой $AC$ (и соответственно точку $D$, чтобы $ABCD$ оставался параллелограммом), то площади треугольников $BAM, BCN$ при этом не меняются.
Ничего себе, легко заметить! Как это можно заметить, если у треугольника $BAM$, к примеру, меняются все параметры - и высота, и основание! Это всё надо доказывать. Но к чему такие сложности, если всё можно решить гораздо проще - если $BD$ медиана, то она делит пересекающиесяемые ей треугольники ровно пополам по площади.
mr.tumkan2015 в сообщении #1080887 писал(а):
Спасибо! А мое решение -- верно?
Да, ваше тоже верно, разумеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 15:38 
Аватара пользователя


11/08/11
1125
OlegCh в сообщении #1080896 писал(а):
Ничего себе, легко заметить! Как это можно заметить, если у треугольника $BAM$, к примеру, меняются все параметры

Сей треугольник, как можно видеть из рисунка, состоит из двух треугольников поменьше, на которые его делит диагональ $AC$. И при таком преобразовании длина основания и высота у каждого из треугольничков как раз не меняются. А значит, не меняются их площади. А значит, не меняется площадь $BAM$ как сумма их площадей. Как-то так.

Или еще проще: площади двух фигур равны, если при пересечении их пучком параллельных прямых длины отрезков сечения фигур каждой прямой из пучка соответственно равны. Что выполняется при указанном движении точки $B$.

А, тогда совсем-совсем просто, никуда ничего двигать не надо. Пересекаем всю фигуру пучком прямых, параллельных $AC$, и доказываем равенство отрезков, отсекаемых прямыми у $BAM$ и $BCN$. Что получаем через упомянутую вами медианность диагонали $BD$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group