2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на площадь, доказательство.
Сообщение08.12.2015, 15:09 
На сторонах $AD$ и $DC$ паралелограмма ABCD взяли точки $M$ и $N$ так что $MN\parralel AC$. Доказать, что $S_{ABM}=S_{BNC}$.

Изображение

Я сразу вижу подобные треугольники $DMN$ и $ADC$. Тогда $AC:MN=AD:MD=CD:DN$.

Но отношения сторон ничего не дают. Общих высот нет, подскажите, плиз, за что зацепиться?

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение08.12.2015, 15:32 
Вторую диагональ проведите.

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение08.12.2015, 15:39 
iifat в сообщении #1080602 писал(а):
Вторую диагональ проведите.

Спасибо, провел, не помогло

Изображение

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение08.12.2015, 15:50 
Ну, назовите мне десять сколько сможете равновеликих треугольников.

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение08.12.2015, 17:18 
Аватара пользователя
Прямая $BN$ делит треугольник $BCD$, а прямая $BM$ -- треугольник $ABD$. Каковы эти треугольники? Как их "делят"?

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение08.12.2015, 21:38 
provincialka в сообщении #1080631 писал(а):
Прямая $BN$ делит треугольник $BCD$, а прямая $BM$ -- треугольник $ABD$. Каковы эти треугольники? Как их "делят"?

Спасибо Кажется понял! Они равны (по трем сторонам), площади равны. Делят на треугольники с равным коэффициентом подобия. Значит те самые треугольники из условия равны! Спасибо, понял!

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 09:28 
Аватара пользователя
А ещё $BD$ - это медиана треугольников $MBN$ и $MDN$...

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 09:38 
mr.tumkan2015 в сообщении #1080740 писал(а):
Значит те самые треугольники из условия равны!

Неужели? В $\triangle ABM$ не вижу ни одной стороны, которая даже теоретически могла бы равняться $BC$.

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 10:53 
Вот что имелось ввиду, может криво выразился...

$\Delta {ABD}=\Delta {CBD}$

Пусть $\dfrac{AC}{MN}=k$

$\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABM}}=\dfrac{kMD}{(k-1)MD}=\dfrac{k}{k-1}$

$\dfrac{S_{CBD}}{S_{BNC}}=\dfrac{kDN}{(k-1)DN}=\dfrac{k}{k-1}$

$\dfrac{S_{CBD}}{S_{BNC}}=\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABM}}$

$S_{BNC}=S_{ABM}$

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 12:26 
Аватара пользователя
$B \to C, \;\; M \to N \;\; A \to B$
После таких передвижений (которые не меняют площадь $ABM$) оба треугольника совпадут, поэтому имеют одинаковую площадь.

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 14:12 
TOTAL в сообщении #1080850 писал(а):
$B \to C, \;\; M \to N \;\; A \to B$
После таких передвижений (которые не меняют площадь $ABM$) оба треугольника совпадут, поэтому имеют одинаковую площадь.

Спасибо! А мое решение -- верно?

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 14:35 
Аватара пользователя
Легко заметить, что если двигать точку $B$ на резиночке параллельно прямой $AC$ (и соответственно точку $D$, чтобы $ABCD$ оставался параллелограммом), то площади треугольников $BAM, BCN$ при этом не меняются. Тогда сдвигом превратим параллелограмм в ромб, после чего равенство площадей треугольников станет очевидно.

Или же сдвигом превращаем параллелограмм в такой же, но зеркально симметричный. Тоже очевидно равенство.

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 14:55 
INGELRII в сообщении #1080876 писал(а):
Легко заметить, что если двигать точку $B$ на резиночке параллельно прямой $AC$ (и соответственно точку $D$, чтобы $ABCD$ оставался параллелограммом), то площади треугольников $BAM, BCN$ при этом не меняются. Тогда сдвигом превратим параллелограмм в ромб, после чего равенство площадей треугольников станет очевидно.

Или же сдвигом превращаем параллелограмм в такой же, но зеркально симметричный. Тоже очевидно равенство.

Спасибо! А мое решение -- верно?

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 15:14 
Аватара пользователя
INGELRII в сообщении #1080876 писал(а):
Легко заметить, что если двигать точку $B$ на резиночке параллельно прямой $AC$ (и соответственно точку $D$, чтобы $ABCD$ оставался параллелограммом), то площади треугольников $BAM, BCN$ при этом не меняются.
Ничего себе, легко заметить! Как это можно заметить, если у треугольника $BAM$, к примеру, меняются все параметры - и высота, и основание! Это всё надо доказывать. Но к чему такие сложности, если всё можно решить гораздо проще - если $BD$ медиана, то она делит пересекающиесяемые ей треугольники ровно пополам по площади.
mr.tumkan2015 в сообщении #1080887 писал(а):
Спасибо! А мое решение -- верно?
Да, ваше тоже верно, разумеется.

 
 
 
 Re: Задача на площадь, доказательство.
Сообщение09.12.2015, 15:38 
Аватара пользователя
OlegCh в сообщении #1080896 писал(а):
Ничего себе, легко заметить! Как это можно заметить, если у треугольника $BAM$, к примеру, меняются все параметры

Сей треугольник, как можно видеть из рисунка, состоит из двух треугольников поменьше, на которые его делит диагональ $AC$. И при таком преобразовании длина основания и высота у каждого из треугольничков как раз не меняются. А значит, не меняются их площади. А значит, не меняется площадь $BAM$ как сумма их площадей. Как-то так.

Или еще проще: площади двух фигур равны, если при пересечении их пучком параллельных прямых длины отрезков сечения фигур каждой прямой из пучка соответственно равны. Что выполняется при указанном движении точки $B$.

А, тогда совсем-совсем просто, никуда ничего двигать не надо. Пересекаем всю фигуру пучком прямых, параллельных $AC$, и доказываем равенство отрезков, отсекаемых прямыми у $BAM$ и $BCN$. Что получаем через упомянутую вами медианность диагонали $BD$.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group