Логика и теория множеств

[Unx]

Две цитаты из учебника Э. Мендельсона по математической логике:

Цитата:

Под интерпретацией мы будем понимать всякую систему, состоящую из непустого множества $D$, называемого областью интерпретации, и какого-либо соответствия, относящего каждой предикатной букве $A_n^j$ некоторое n-местное отношение в $D$, каждой функциональной букве $f_j^n$ -- некоторую n-местную операцию в $D$ и каждой предметной постоянной $a_i$ -- некоторый элемент из $D$.

Цитата:

Напомним, что всякое n-местное отношение в $D$ может рассматриваться как некоторое подмножество множества $D^n$ всех n-ок элементов из $D$.

Какая теория множеств используется в логике? В каком смысле здесь используются n-местные отношения, операции, n-ки?

[Xaositect]

Unx в сообщении #1080527 писал(а):

Какая теория множеств используется в логике?

Какая-нибудь. В данном месте это неважно. $n$-местное отношение - это подмножество $D^n$, т.е. множество $n$-ок элементов $D$. $n$-местная операция - это функция $D^n \to D$. $n$-ка может определяться по разному, но главное свойство в том, что две $n$-ки $(a_1,\dots,a_n)$ и $(b_1,\dots,b_n)$ равны тогда и только тогда, когда $a_1 = b_1$,..., $a_n = b_n$.

[Unx]

Цитата:

Какая-нибудь.

Всё же: либо наивная теория, либо аксиоматическая (одна из). Так?
Проблема в том, что автор не указывает чем исходно мы располагаем. Вот одна цитата из книги, страница 11:

Цитата:

Мы здесь не будем уточнять какие собрания объектов являются множествами. Однако мы будем избегать употребления таких связанных с понятием множества идей и процедур, которые могут привести к парадоксам. Все излагаемые здесь результаты могут быть формализованы в аксиоматической теории множеств, рассмотренной в главе 4.

Я не понимаю о чем речь. Либо теория наивная, либо аксиоматическая. Ясно, что они не могут быть взаимозаменяемы. И далеко не все результаты могут быть формализованы в аксиоматической теории.

[Brukvalub]

Unx в сообщении #1080548 писал(а):

Я не понимаю о чем речь. Либо теория наивная, либо аксиоматическая.

Попробуйте еще раз перечитать текст цитаты и высказать ДОГАДКУ! , какой подход использует автор: наивный, или аксиоматический!

[Unx]

Наивный. А разве можно использовать сразу аксиоматический?

[Brukvalub]

Unx в сообщении #1080553 писал(а):

Наивный.

Получается, вы смогли САМОСТОЯТЕЛЬНО правильно ответить на свой вопрос?

[Unx]

Получается смог сам ответить.
Но теперь я не вижу, зачем аксиоматическая теория вообще нужна. Если все в конечном счете сводится к наивной.

[Brukvalub]

Unx в сообщении #1080555 писал(а):

Но теперь я не вижу, зачем аксиоматическая теория вообще нужна. Если все в конечном счете сводится к наивной.

Это не вопрос, а утверждение. Вы рассказываете нам о своих заблуждениях в понимании теории множеств?

[Unx]

Не слишком ли расточительно сначала, опираясь на интуитивное понятие множества, доказывать свойства теоретико-множественных операций, отношений, функций, а затем ввести аксиомы и доказывать то же самое? Я хочу разобраться.

[Brukvalub]

Нет, это не слишком расточительно. Начинающему будет трудно и не понятно, если всякий учебник по математике начинать с аксиоматического изложения теории множеств. Многие тогда и не продвинутся дальше введения. Для подавляющего большинства случаев удается корректно все изложить, пользуясь наивной теорией множеств.

[Unx]

Цитата:

начинать с аксиоматического изложения теории множеств

Если подходить строго, то начать с аксиоматического изложения мы вообще не можем. Потому что систему аксиом мы записываем с помощью логики первого порядка. А логика в свою очередь использует наивную теорию.

[Brukvalub]

Получается, что вы и сами прекрасно все понимаете. Тогда в чем состоит цель ваших вопросов? В троллинге?

[Mikhail_K]

Brukvalub, Unx здесь ставит вопрос: аксиоматическая теория множеств базируется на логике, а логика на наивной теории множеств; получается, что аксиоматическая теория множеств не самодостаточна и базируется на наивной - как так может быть?

Unx, Вы рассматриваете наивную и аксиоматическую теории, как будто это равноправные альтернативы. Реально, если принять высокий уровень строгости, наивная теория - это вообще не теория, и на ней ничего не должно базироваться. Видимо, ответ в том, что всё-таки можно изложить аксиоматическую теорию множеств плюс логику, не базируясь на наивной теории, хотя конкретно в данном учебнике для простоты и удобства читателя логика вводится через наивную теорию.

[Unx]

Brukvalub, я задам прямые вопросы. Какие конкретные применения имеют аксиоматические теории множеств? Какой набор задач они позволяют решить?
Mikhail_K, а как? Скажите как ввести исчисление предикатов, ввести понятие интерпретации не прибегая к наивной теории? Меня не интересует простота и удобство. Если изложение в этом учебнике слишком примитивное и нестрогое, посоветуйте другой.

[Brukvalub]

Unx в сообщении #1080578 писал(а):

Brukvalub, я задам прямые вопросы. Какие конкретные применения имеют аксиоматические теории множеств? Какой набор задач они позволяют решить?

Именно этот вопрос неоднократно обсуждался на форуме. Вы непременно хотите, чтобы вас еще раз лично "обслужили", или готовы воспользоваться поиском на слова "аксиоматические теории множеств" и ознакомиться с уже имеющимися объяснениями?