Снова характеристические функции

[toreto]

Здравствуйте! Есть вопрос!

С помощью формулы обращения найдите характерстическую функцию случайной величины $X$, если она имеет распределение Коши с параметром $\gamma$

Распределение с Коши задаётся плотностью $f_X(x)$, имеющей вид:

$$f_X(x) = \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} = { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right],$$

где

$x_0 \in \mathbb{R}$ — параметр сдвига;
$\gamma > 0$ — параметр масштаба.

У меня сразу вопрос -- точно ли формула обращения? Ведь нам распределение известно, по сути нужно просто в лоб найти характеристическую функцию.

$\varphi (x)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{ixt}\,dt.$

Или же задача криво сформулирована?

[toreto]

Этот интерграл совсем не очевидно -- как брать.

[Ms-dos4]

toreto
$\[\varphi (t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{e^{itx}}}}{{\pi \gamma [1 + {{(\frac{{x - {x_0}}}{\gamma })}^2}]}}dx} \]$
В интеграле делаете замену $\[\frac{{x - {x_0}}}{\gamma } = \xi \]$
Отсюда получаете $\[\varphi (t) = \frac{{{e^{it{x_0}}}}}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{e^{i\gamma \xi t}}}}{{1 + {\xi ^2}}}d\xi } \]$
Этот интеграл элементарно берётся с помощью вычетов

[toreto]

Ms-dos4 в сообщении #1077783 писал(а):

toreto
$\[\varphi (t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{e^{itx}}}}{{\pi \gamma [1 + {{(\frac{{x - {x_0}}}{\gamma })}^2}]}}dx} \]$
В интеграле делаете замену $\[\frac{{x - {x_0}}}{\gamma } = \xi \]$
Отсюда получаете $\[\varphi (t) = \frac{{{e^{it{x_0}}}}}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{e^{i\gamma \xi t}}}}{{1 + {\xi ^2}}}d\xi } \]$
Этот интеграл элементарно берётся с помощью вычетов

Точно, спасибо, получается $\[\varphi (t) = \dfrac{{{e^{it{x_0}}}}}{\pi }\pi e^{-\left|\xi\right|}.$

Правильно ли это?

[Ms-dos4]

toreto
Ну помимо того, что $\[\pi \]$ сокращаются, там будет всё таки $\[{e^{ - \gamma \left| t \right|}}\]$, а никак не $\[{e^{ - \left| \xi \right|}}\]$ (откуда ей там вообще взяться, мы же по ней интегрируем!). Т.е. ответ будет $\[\varphi (t) = {e^{it{x_0} - \gamma \left| t \right|}}\]$

[toreto]

Ms-dos4 в сообщении #1077785 писал(а):

toreto
Ну помимо того, что $\[\pi \]$ сокращаются, там будет всё таки $\[{e^{ - \gamma \left| t \right|}}\]$, а никак не $\[{e^{ - \left| \xi \right|}}\]$ (откуда ей там вообще взяться, мы же по ней интегрируем!). Т.е. ответ будет $\[\varphi (t) = {e^{it{x_0} - \gamma \left| t \right|}}\]$

Хорошо, спасибо, понятно!