2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Снова характеристические функции
Сообщение28.11.2015, 14:38 
Здравствуйте! Есть вопрос!

С помощью формулы обращения найдите характерстическую функцию случайной величины $X$, если она имеет распределение Коши с параметром $\gamma$

Распределение с Коши задаётся плотностью $f_X(x)$, имеющей вид:

$$f_X(x) =  \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} = { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2  } \right],$$
где

$x_0 \in \mathbb{R}$ — параметр сдвига;
$\gamma > 0$ — параметр масштаба.

У меня сразу вопрос -- точно ли формула обращения? Ведь нам распределение известно, по сути нужно просто в лоб найти характеристическую функцию.

$\varphi (x)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{ixt}\,dt.$

Или же задача криво сформулирована?

 
 
 
 Re: Снова характеристические функции
Сообщение28.11.2015, 23:58 
Этот интерграл совсем не очевидно -- как брать.

 
 
 
 Re: Снова характеристические функции
Сообщение29.11.2015, 00:15 
toreto
$\[\varphi (t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{e^{itx}}}}{{\pi \gamma [1 + {{(\frac{{x - {x_0}}}{\gamma })}^2}]}}dx} \]$
В интеграле делаете замену $\[\frac{{x - {x_0}}}{\gamma } = \xi \]$
Отсюда получаете $\[\varphi (t) = \frac{{{e^{it{x_0}}}}}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{e^{i\gamma \xi t}}}}{{1 + {\xi ^2}}}d\xi } \]$
Этот интеграл элементарно берётся с помощью вычетов

 
 
 
 Re: Снова характеристические функции
Сообщение29.11.2015, 00:26 
Ms-dos4 в сообщении #1077783 писал(а):
toreto
$\[\varphi (t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{e^{itx}}}}{{\pi \gamma [1 + {{(\frac{{x - {x_0}}}{\gamma })}^2}]}}dx} \]$
В интеграле делаете замену $\[\frac{{x - {x_0}}}{\gamma } = \xi \]$
Отсюда получаете $\[\varphi (t) = \frac{{{e^{it{x_0}}}}}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{e^{i\gamma \xi t}}}}{{1 + {\xi ^2}}}d\xi } \]$
Этот интеграл элементарно берётся с помощью вычетов


Точно, спасибо, получается $\[\varphi (t) = \dfrac{{{e^{it{x_0}}}}}{\pi }\pi e^{-\left|\xi\right|}.$

Правильно ли это?

 
 
 
 Re: Снова характеристические функции
Сообщение29.11.2015, 00:37 
toreto
Ну помимо того, что $\[\pi \]$ сокращаются, там будет всё таки $\[{e^{ - \gamma \left| t \right|}}\]$, а никак не $\[{e^{ - \left| \xi  \right|}}\]$ (откуда ей там вообще взяться, мы же по ней интегрируем!). Т.е. ответ будет $\[\varphi (t) = {e^{it{x_0} - \gamma \left| t \right|}}\]$

 
 
 
 Re: Снова характеристические функции
Сообщение29.11.2015, 00:43 
Ms-dos4 в сообщении #1077785 писал(а):
toreto
Ну помимо того, что $\[\pi \]$ сокращаются, там будет всё таки $\[{e^{ - \gamma \left| t \right|}}\]$, а никак не $\[{e^{ - \left| \xi  \right|}}\]$ (откуда ей там вообще взяться, мы же по ней интегрируем!). Т.е. ответ будет $\[\varphi (t) = {e^{it{x_0} - \gamma \left| t \right|}}\]$

Хорошо, спасибо, понятно!

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group