2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 16:06 


18/11/15
6
Насколько быстро может расти ряд производных в точке, где функция непрерывна и дифференцируема бесконечное число раз. Ясно, что по модулю не медленнее $n!A^n$ где $n$ - это порядок производной, $A>1$ (для функции $\log x$ в правой полуокрестности точки 0), а может ли расти еще быстрее? Например как $(n!)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 16:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Не может. Посмотрите на ряд Маклорена такой функции $\sum_{n=0}^\infty n!x^n$. Его слагаемые даже не стремятся к нулю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 18:34 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
arseniiv в сообщении #1074624 писал(а):
Не может. Посмотрите на ряд Маклорена такой функции $\sum_{n=0}^\infty n!x^n$. Его слагаемые даже не стремятся к нулю!
А эта функция непрерывна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 18:36 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну, ряд расходится не в нуле…

-- Ср ноя 18, 2015 20:38:38 --

Ах да, получается, что я показал, что аналитической такой функции нет, а вот просто непрерывной и бесконечно дифференцируемой — не обязательно. М-да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
известная
Теорема. Для любой последовательности чисел $a_n$ существует б. д. $f$, т.ч. $f^{(n)}(0)=a_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 22:40 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

:| Какой учебник анализа мне лучше открывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 22:50 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
arseniiv
https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... on_theorem
https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... el_theorem

Вот тут еще хорошо в качестве комментария.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group