2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 16:06 
Насколько быстро может расти ряд производных в точке, где функция непрерывна и дифференцируема бесконечное число раз. Ясно, что по модулю не медленнее $n!A^n$ где $n$ - это порядок производной, $A>1$ (для функции $\log x$ в правой полуокрестности точки 0), а может ли расти еще быстрее? Например как $(n!)^2$

 
 
 
 Re: Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 16:42 
Не может. Посмотрите на ряд Маклорена такой функции $\sum_{n=0}^\infty n!x^n$. Его слагаемые даже не стремятся к нулю!

 
 
 
 Re: Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 18:34 
arseniiv в сообщении #1074624 писал(а):
Не может. Посмотрите на ряд Маклорена такой функции $\sum_{n=0}^\infty n!x^n$. Его слагаемые даже не стремятся к нулю!
А эта функция непрерывна?

 
 
 
 Re: Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 18:36 
Ну, ряд расходится не в нуле…

-- Ср ноя 18, 2015 20:38:38 --

Ах да, получается, что я показал, что аналитической такой функции нет, а вот просто непрерывной и бесконечно дифференцируемой — не обязательно. М-да.

 
 
 
 Re: Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 19:11 
Аватара пользователя
известная
Теорема. Для любой последовательности чисел $a_n$ существует б. д. $f$, т.ч. $f^{(n)}(0)=a_n$.

 
 
 
 Re: Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 22:40 

(Оффтоп)

:| Какой учебник анализа мне лучше открывать?

 
 
 
 Re: Быстрота роста ряда производных
Сообщение18.11.2015, 22:50 
arseniiv
https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... on_theorem
https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... el_theorem

Вот тут еще хорошо в качестве комментария.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group