Не понимаю интеграл Фурье

[izirekter]

Функцию f(x), заданную на [0;$\infty$) , представить интегралом Фурье, продолжив ее четным образом на интервал (-$\infty$;0)

Сама функция не важна, я не понимаю просто что собственно надо делать. Как продолжить функцию четным образом? На каком интервале интегрировать?

[Otta]

izirekter

izirekter в сообщении #1071819 писал(а):

Как продолжить функцию четным образом?

Достроить $f$ с положительной полуоси на всю прямую так, чтобы полученная функция была четной.

izirekter в сообщении #1071819 писал(а):

На каком интервале интегрировать?

По всей прямой, вестимо, иначе зачем на всю прямую продолжать.

[Brukvalub]

izirekter, а что вы сделали (колме жалоб на форуме), чтобы понять интеграл Фурье? Какие книги (пособия) проработали?

[gris]

Продолжить функцию, заданную на интервале $[0,\infty)$ на всю числовую ось можно и чётным, и нечётным образом. Для этого надо доопределить функцию на левой полуоси так, чтобы в результате получилась чётная или нечётная функция. Например, для функции $f(x)=x, x \in [0,\infty)$ после продолжения чётным способом получим чётную функцию $f(x)=|x|, x \in (-\infty,\infty)$ , а после продолжения нечётным способом получим нечётную функцию $f(x)=x, x \in (-\infty,\infty)$.
Интегрируется, конечно, на всей числовой оси. Вид интеграла в тригонометрической форме отличается для чётных и нечётных функций.

И чего я зря клавиатуру мучал? Отправляю...

[izirekter]

Литературы читал много и разной, просто нигде не нашел толкового примера

Я правильно понимаю, что чтобы продолжить функцию $f(x)=\min(x,e^{1-x} )$ на левую полуось надо ее записать как $f(x)=\min(|x|,e^{1-|x|} )$ ?

[Brukvalub]

Да.

[levtsn]

Можно взять два полуинтеграла - о нуля до бесконечности и от нуля до бесконечности только фазу синусной части проинвертировать. резудьтаты сложить.

[izirekter]

Так собственно с функцией я разобрался, теперь надо таки построить интеграл Фурье $\int_{0}^{\infty} a(z)\cos(zx)+b(z)\sin(zx)dx $

где $a(z) = \frac1l \int_{-l}^{l} f(x)\frac{\cos(\pi zx)}/l) dx$

В связи с чем у меня 2 вопроса:
1) Чему равно l ?
2) Как вообще можно интегрировать функцию типа $f(x) = min(x,e^{1-x})$ ?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

izirekter
На Ваш исходный вопрос ответили, дальнейшее обсуждение предполагает наличие попыток решения, в частности, знание определения интеграла Фурье. Приведите, пожалуйста.
Кроме того,
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.