Задачи на теорию вероятности

[rabbit-a]

Уважаемые математики не подскажите правильно ли я решил задачу: Из колоды карт (52) выдаются 5. Какова вероятность того, что выпадет пара карт одинаковых по старшинству? Какова вероятность, что выпадут все карты одной масти?
Решение:
Вероятность того, что выпадут две карты одинаковые по старшинству равна
$p=\frac{52\cdot 3\cdot(52-4)\cdot(52-8)\cdot(52-12)}{A_{52}^5}=\frac{176}{4165}$
Вероятность того, что выпадут все карты одной масти равна
$p=\frac{52\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{A_{52}^5}=\frac{33}{16660}$

и можно ли еще узнать Ваше мнение- это задача была дана семикласснику в качестве олимпиадной, способен ли семиклассник решить такую задачу?

[Mihr]

Оба ответа неверны.
А почему Вы считали именно так?
И при чём здесь число размещений? Разве важен порядок выдачи карт?

[rabbit-a]

А как тогда правильно считать, подскажите пожалуйста-не могу сообразить. Порядок можно учитывать, а можно и не учитывать. Я учитывал и в числителе и в знаменателе.
Если брать число сочетаний в знаменателе как обычно, то в числителе получается больше число, а вероятность не может быть больше единицы.

[Mihr]

Считать можно по-разному, конечно. Имхо, для ответа на первый вопрос проще всего найти вероятность противоположного события. Давайте вначале сформулируем его. Какое событие противоположно событию "Нашлись две карты одинаковые по старшинству"?
Для ответа на второй вопрос проще всего вспомнить о вероятности произведения событий. Вы помните, чему она равна?

[Otta]

Mihr в сообщении #1071600 писал(а):

"Нашлись две карты одинаковые по старшинству"

Имхо, Вы с ТС думаете о разных задачах. Он решает "ровно две карты, одинаковые по старшинству".

[ewert]

rabbit-a в сообщении #1071587 писал(а):

Вероятность того, что выпадут две карты одинаковые по старшинству равна
$p=\frac{52\cdot 3\cdot(52-4)\cdot(52-8)\cdot(52-12)}{A_{52}^5}=\frac{176}{4165}$

Какие две?...

Переходите к противоположному событию.

rabbit-a в сообщении #1071587 писал(а):

Вероятность того, что выпадут все карты одной масти равна
$p=\frac{52\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{A_{52}^5}=\frac{33}{16660}$

Верно, но логика немного вычурная.

Mihr в сообщении #1071591 писал(а):

Разве важен порядок выдачи карт?

В обоих случаях выгоднее считать, что важен -- запись немного упрощается.

Otta в сообщении #1071601 писал(а):

Он решает "ровно две карты, одинаковые по старшинству".

Это неправильная интерпретация условия. В таких случаях слово "ровно" принято произносить открытым текстом; "нашлись" же подразумевает "хотя бы".

Впрочем, результат и для подразумевавшейся версии условия неверен. Что такое, собственно, $52\cdot3$?...

[Otta]

ewert в сообщении #1071604 писал(а):

В таких случаях слово "ровно" принято произносить открытым текстом; "нашлись" же подразумевает "хотя бы".

"Нашлись" - это уже, в свою очередь, интерпретация.
Но да, я бы посчитала, что более естественная для данного вопроса. Однако, автор задачи мог бы и аккуратнее выражаться.

[Mihr]

О, прошу прощения, обсчитался. Второй ответ действительно верен.

ewert в сообщении #1071604 писал(а):

В обоих случаях выгоднее считать, что важен -- запись немного упрощается.

Не знаю. Готов сравнить своё решение с другими решениями на предмет простоты :) Мне кажется, что моё очень просто. О порядке карт я не думаю вообще.

[ewert]

Otta в сообщении #1071608 писал(а):

"Нашлись" - это уже, в свою очередь, интерпретация.

"Велик могучих русский языка".

Mihr в сообщении #1071611 писал(а):

Мне кажется, что моё очень просто.

Оно наверняка настолько просто, что Вам придётся выписывать дополнительно два одинаковых факториала -- специально для того, чтоб было что сокращать.

[rabbit-a]

Давайте по порядку:
Ответ во второй задач верен или нет? я так и не понял. Да я так понимаю задачу, что найдутся ровно две карты одинаковые по старшинству, а не две и не три и не четыре и не пять, потому что семиклассник который мне ее дал именно так понимает задачу.
Логика такая: первая карта может быть любой - 52 способа для нее, вторая должна быть этой же масти, таких карт осталось 12 из них может быть любая, аналогично 11, 10 и 9 опредедяются. По ПРАВИЛУ ПРОИЗВЕДЕНИЯ, вспомнил на стр 115 большой энциклопедии по математике, что вероятность совмещения событий $A_1,\, A_2,\ldots, A_r$ равна вероятности события $A_1$ умноженной на вероятность события $A_2$ взятую при условии, что событие $A_2$ наступило, и так далее умноженной на вероятность события $A_r$, при условии что $A_1,\, A_2, \ldots, A_{r-1}$ насупили.
Давайте сформулируем противоположное событие: из 5 выбранных карт все будут различны по старшинству или более двух, но менее 6 будут различны по старшинству. Посчитать эту вероятность? через сумму?
По поводу 52 и 3, логика такая: первая карта выбирается произвольно, вторая карта должна быть этого старшинства, таких осталось 3 ( разных мастей), поэтому умножая на 3. Что-то не так? В чем именно ошибка?

[ewert]

rabbit-a в сообщении #1071617 писал(а):

Ответ во второй задач верен или нет?

Верен.

rabbit-a в сообщении #1071617 писал(а):

Логика такая:

Я ж не возражал против логики; я лишь про то, что надо было тупо написать $4\cdot A_{13}^5$. Раз уж Вы всё равно это обозначение используете.

rabbit-a в сообщении #1071617 писал(а):

Давайте сформулируем противоположное событие:

В вашей версии условия -- переходить к противоположному, естественно, не следует.

rabbit-a в сообщении #1071617 писал(а):

По поводу 52 и 3, логика такая: первая карта выбирается произвольно, вторая карта должна быть этого старшинства, таких осталось 3 ( разных мастей), поэтому умножая на 3. Что-то не так? В чем именно ошибка?

Само по себе это замечательно; но теперь подумайте: чего Вы не учли? т.е. какой множитель потерян?

[rabbit-a]

Вторая задача получилась, ну ладно, какая логика есть такая и есть- так и буду объяснять, все равно не понимаю как можно проще. По поводу первой задачи: Вы предлагаете взять в знаменателе число сочетаний $C_{52}^5$ а как тогда записать числитель? тоже через сочетания?

[Mihr]

rabbit-a,
второй ответ верен, я уже признал и извинился.

ewert в сообщении #1071616 писал(а):

Оно наверняка настолько просто, что Вам придётся выписывать дополнительно два одинаковых факториала -- специально для того, чтоб было что сокращать.

Я не выписывал ни одного факториала явно. И вообще использовал классическое определение вероятности лишь для записи совершенно очевидных вероятностей. А в основу решения положил формулу вероятности произведения событий.

[ewert]

rabbit-a в сообщении #1071620 писал(а):

все равно не понимаю как можно проще.

ewert в сообщении #1071618 писал(а):

тупо написать $4\cdot A_{13}^5$

[rabbit-a]

А 4- это четыре масти, и число сочетаний, потому что порядок важен все-таки(!), а 13 - это количество карт одной масти, ну да спасибо