Линеаризуемость системы уравнений второго порядка

[DLL]

Совместными усилиями здесь доказали, что для того, чтобы ОДУ порядка больше двух было линеаризуемо (точечными преобразованиями) необходимо и достаточно, чтобы его алгебра симметрий содержало абелеву подалгебру того же порядка, что и уравнение.

Предлагаю подумать для систем, например взять для начала систему из двух уравнений второго порядка. Какие есть идеи?

[Утундрий]

DLL в сообщении #1070885 писал(а):

Какие есть идеи?

Любую систему ОДУ можно переписать в виде одного ОДУ "порядка выше двух".

[VanD]

Утундрий в сообщении #1071555 писал(а):

Любую систему ОДУ можно переписать в виде одного ОДУ "порядка выше двух".

Только алгебра Ли точечных симметрий системы не будет изоморфна алгебре Ли точечных симметрий такого уравнения в общем случае. А точнее, некоторые симметрии, точечные для системы, перестанут быть точечными для уравнения (как и точечные преобразования системы). Таким образом, пока из сводимости к одному уравнению, решения задачи для систем не получается.

[DLL]

Все так. Для начала опять же необходимое условие: наличие в алгебре симметрий абелевой подалгебры размерности 4.

[Утундрий]

VanD
Любопытно. А можно какой-нибудь пример?

[VanD]

Взять хотя бы $\ddot{x} = y, \ddot{y} = x$ - у неё 8-мерная группа точечных симметрий против 6-мерной группы для уравнения $\ddddot{x} = x$ - если не врёт maple. Это происходит из-за того, что при переходе к одному уравнению часть точечных симметрий системы превращаются для уравнения во внутренние касательные симметрии старших порядков.

[Утундрий]

Спасибо.