Гибкая функция?

[Zazaqa]

Добрый день.

Подскажите функцию, допустим &f:[0,1] \to [0,1]$ (на самом деле интервал не важен, так как в него можно загнать), максимально гибкую, но убывающую (или которую можно сделать убывающей при помощи ограничений на параметры).

Допустим $y = (1-x)^a$, $a > 0$ мне не очень нравится (недостаточно гибкая). Желательно чтобы функция могла принимать разные знаки второй производной (чередовались) на этом интервале (это должно зависеть от параметров).

Вопрос, можно такую функцию как-нибудь построить или уже известны такие хорошие функции?
Спасибо.

[Slav-27]

Это что такое, гибкая функция?

Zazaqa в сообщении #1069923 писал(а):

Желательно чтобы функция могла принимать разные знаки второй производной (чередовались) на этом интервале (это должно зависеть от параметров).

Ну возьмите какую-нибудь функцию, которая выпукла то вверх то вниз. Что-нибудь вроде $x+\sin x.$

[Red_Herring]

Определение "гибкой" и "максимально гибкой" функции, пожалуйста, а то это не математика будет, а философия

А если хочется убывания и много-много точек перегиба то
$-5x+x^5\sin (1/x)$ на $(0,1)$

[Zazaqa]

Я хочу функцию, которая будет хорошо аппроксимировать зашумленные данные. Известно, что реальная функция монотонно убывает + случайный компонент.
"Габкая" или "Максимально гибкая" означает, что функция подходит довольно хорошо к произвольному процессу, порождаемому монотонно убывающей зашумленной функцией.
Хочется что-то типа полинома, но полиномы не факт что убывающие на данном отрезке (параметры подбираю либо ММП, либо МНК).

Периодичности не наблюдается, поэтому синусы отпадают.

[Red_Herring]

Это не определение.

[arseniiv]

Zazaqa
И всё это одним параметром? Уверены, что одного должно хватать? (Какие функции нужны, тоже не понял. Но что нужна не одна, а целое семейство, и именно свойством его, а не отдельных функций, является «гибкость», уловил. Так бы и писали. )

[Zazaqa]

arseniiv в сообщении #1069952 писал(а):

Zazaqa
И всё это одним параметром? Уверены, что одного должно хватать? (Какие функции нужны, тоже не понял. Но что нужна не одна, а целое семейство, и именно свойством его, а не отдельных функций, является «гибкость», уловил. Так бы и писали. )

Можно много параметров. Например, как полиномы, но нужна так же монотонность.

[arseniiv]

И что ещё кроме монотонности? Что конкретно требуется от перегибов? Сколько и где их может быть?

Кстати, зря вы так про синусы:

Zazaqa в сообщении #1069944 писал(а):

Периодичности не наблюдается, поэтому синусы отпадают.

ну приплюсуйте ещё синусов с другими частотами. Умножьте их на коэффициенты, дающие в сумме по модулю не больше производной исходной монотонной функции. Например.

[мат-ламер]

Zazaqa. Возьмите сплайн-функцию. Насчёт монотонности для начала не заморачивайтесь. Может автоматом получится.

[Zazaqa]

arseniiv в сообщении #1069955 писал(а):

И что ещё кроме монотонности? Что конкретно требуется от перегибов? Сколько и где их может быть?

ну приплюсуйте ещё синусов с другими частотами. Умножьте их на коэффициенты, дающие в сумме по модулю не больше производной исходной монотонной функции. Например.

Ничего конкретного не требуется, требуется просто, чтобы функция могла описывать "широкий" класс монотонных зависимостей.
Про синусы и косинусы - очень трудно ограничения писать. Я сейчас пытаюсь аппроксимировать полиномом и писать ограничения на сетке в интервале $[0,1]$, то есть $f'(x) \leqslant 0$ для некоторых точек из $[0,1]$.

-- 03.11.2015, 22:26 --

мат-ламер в сообщении #1069959 писал(а):

Zazaqa. Возьмите сплайн-функцию. Насчёт монотонности для начала не заморачивайтесь. Может автоматом получится.

Хочется одну большую функцию.

[arseniiv]

Zazaqa в сообщении #1069976 писал(а):

Про синусы и косинусы - очень трудно ограничения писать.

Я ж их явно расписал. Ну давайте в формулах: функция $f + a_1g_1 + \ldots + a_ng_n$ нестрого монотонна на $A$, если $f$ монотонна и $\lvert a_1\rvert\tilde g_1 + \ldots + \lvert a_n\rvert\tilde g_n \leqslant \min_{x\in A} \lvert f'(x) \rvert$ (а для строгой монотонности — и неравенство строгое), где $\tilde h = \max_{x\in A} \lvert h'(x) \rvert$. Вот из этих $a_i$ можно устроить параметры.

Zazaqa в сообщении #1069976 писал(а):

Хочется одну большую функцию.

Это не всегда обоснованно. Сплайн вычислить не дольше, чем какой-нибудь большой многочлен от синусов и экспонент, а уж чисто математически он вообще ничем не хуже, как и какая-нибудь неэлементарная, но нужное число раз дифференцируемая вычислимая функция.

P. S. Забыл вначале модули у $a_i$ в неравенстве, поставлены.
P. P. S. Ещё исправил кое-что.

[Mihaylo]

Разнообразие функций намного больше, чем разнообразие функций, которые можно записать аналитически, тем более короткой записью. Вам вроде как нужна и запись покороче (параметров поменьше), и разнообразие побольше. И рыбку съесть, и...
Хотя требование короткой записи (количества параметров) Вы не озвучили...

[Lia]

Zazaqa
Будьте добры, выполните просьбы участников - это обязательно, - и озвучьте определение 1) гибкой функции, 2) максимально гибкой функции, а также скомпилируйте все остальные требования к семейству во избежание бесконечных уточнений и построений очередных порций примеров, которые, как потом окажется, снова не удовлетворяют Вашим желаниям. Чтобы этого избежать, нужно четко сформулировать желания.
В противном случае, тема отправится в Карантин вне зависимости от страницы обсуждения. До выяснения.

[Zazaqa]

arseniiv в сообщении #1069978 писал(а):

Zazaqa в сообщении #1069976 писал(а):

Про синусы и косинусы - очень трудно ограничения писать.

Я ж их явно расписал. Ну давайте в формулах: функция $f + a_1g_1 + \ldots + a_ng_n$ нестрого монотонна на $A$, если $f$ монотонна и $\lvert a_1\rvert\tilde g_1 + \ldots + \lvert a_n\rvert\tilde g_n \leqslant \min_{x\in A} \lvert f'(x) \rvert$ (а для строгой монотонности — и неравенство строгое), где $\tilde h = \max_{x\in A} \lvert h'(x) \rvert$. Вот из этих $a_i$ можно устроить параметры.

Zazaqa в сообщении #1069976 писал(а):

Хочется одну большую функцию.

Это не всегда обоснованно. Сплайн вычислить не дольше, чем какой-нибудь большой многочлен от синусов и экспонент, а уж чисто математически он вообще ничем не хуже, как и какая-нибудь неэлементарная, но нужное число раз дифференцируемая вычислимая функция.

P. S. Забыл вначале модули у $a_i$ в неравенстве, поставлены.
P. P. S. Ещё исправил кое-что.

arseniiv, спасибо за эти разъяснения. Мне все-таки кажется это слишком трудным для реализации, к тому же метод с полиномом, который я озвучил выше, вроде бы хорошо работает.

[arseniiv]

Zazaqa в сообщении #1070567 писал(а):

Мне все-таки кажется это слишком трудным для реализации

(1) Пространство допустимых значений $(|a_1|,\ldots,|a_n|)$ — это некий вполне определённый симплекс. Остальные величины в неравенстве — константы, вы их знаете (и можете вычислять для определённых классов функций, например, для $t\mapsto\sin(\omega t + \varphi)$ это, ясно, $|\omega|$) заранее.
(2) Для многочленов вы всё равно должны делать что-то подобное — оценивать производные, чтобы не испортить убывание. (О том, что интервал нельзя разбивать на части, на которых неравенство проверять отдельно, никто не говорил.) И это легко обобщить с многочленов на разные другие функции, см. (1).