Закон больших чисел

[Diom]

Помогите, пожалуйста, разобраться в чем отличие Закона больших чисел:

\[ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left\{ {\left| {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\xi _i } - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {M\xi _i } } \right| < \varepsilon } \right\} = 1 \\ \forall \varepsilon > 0 \\ \end{array} \]

от Усиленного закона больших чисел:

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left\{ {\left| {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\xi _i } - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {M\xi _i } } \right| = 0} \right\} = 1 \]

Был бы вам благодарен если б привели пример, когда последовательность случайных величин удовлетворяет закону больших чисел но не удовлетворяет усиленному закону больших чисел.

ПС: и на сколько вообще это важно отличие с практической точки ведь

\[\varepsilon \]

в законе больших чисел может быть выбрано сколь угодно малым.

[AD]

Вы УЗБЧ неправильно сформулировали. Должно быть

$$ P\left\{ \lim_{n \to \infty } {\left| {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\xi _i } - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {M\xi _i } } \right| = 0} \right\} = 1 $$

,
а это совсем не одно и то же.

[Diom]

А в чем разница?

[AD]

Ну как в чем ... ну последовательность случайных величин может сходиться к нулю почти наверное (как у меня), но при этом никогда (ни при каком элементарном исходе) ни одна величина нулем не станет (как у вас). То, что вы написали, бывает чрезвычайно редко.

Рассмотрите те же испытания Бернулли с правильными монетками. Вероятность того, что доля выпавших монеток будет стремиться к 1/2, равна единице. Это есть УЗБЧ. Но точное равенство

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\xi_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathrm{M}\xi_i=\frac{1}{2}$$

бывает очень редко. Скажем, при нечетных $n$ такого вообще не бывает. Так что в вашей записи все вероятности при нечетных $n$ равны нулю, и единицы в пределе никак не получается.

[Diom]

Понял, спасибо.
А в чем отличие УЗБЧ от просто ЗБЧ?

[AD]

УЗБЧ - это более сильное утверждение, и оно верно несколько реже. Пример из книжки Ширяева: для последовательности независимых дискретных случайных величин $\xi_n$, равных $\pm n$ (то же самое $n$) с вероятностью $\frac{1}{2n\ln n}$ и нулю с оставшейся вероятностью $1-\frac{1}{n\ln n}$ обычный ЗБЧ имеет место, а усиленный не выполняется.

Добавлено спустя 1 минуту 36 секунд:

Вообще в этих законах просто утверждаются разные виды сходимости случайных величин: в обычном - "по вероятности", а в усиленном - "с вероятностью 1".

[Diom]

А не могли бы вы подсказать на какой странице распологается этот пример

[AD]

В задачнике. В самом начале темы "Законы больших чисел". Может я неправильную ссылку дал?, но здесь задачника не нашлось ...

[Diom]

Книгу, увы, так и не удалось найти. Ну то что в данном примере для последовательности случайных величин будет место БЗЧ очевидно, а вот как проверить что не будет иметь место УЗБЧ?

[AD]

Ну сам я это не проделывал , и сейчас не успею ... Там же, в книжке, указания:

А. Н. Ширяев писал(а):

... воспользуйтесь тем, что $\mathrm{M}S_n^2\leqslant\frac{n^2}{\ln n}$ и $\sum\limits_{i=1}^\infty\mathrm{P}\{|\xi_n|\geqslant n\}=1$, откуда по второй лемме Бореля-Кантелли $\mathrm{P}\{|\xi_n|\geqslant n\ \text{б.ч.}\}=1$.

Не знаю, правда, зачем тут "$\geqslant n$" всякие стоят, когда все они равносильны "$=n$".

[Diom]

В книге Гнеденко нашел ещё одну формулировку УЗБЧ:
Последовательность случайных величин подчиняется узбч, если, каковы бы не были

\[ \varepsilon > 0,{\rm{ }}\eta {\rm{ > 0}} \]

можно указать такое

\[ {\rm{n}}_{\rm{0}} \]

, что для любого s и всех n удовлетворяющих неравенствам

\[ n_0 \le n \le n_0 + s \]

, вероятность неравентсва

\[ \mathop {\max }\limits_{n_0 \le n \le n_0 + s} \left| {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\xi _i } - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {M\xi _i } } \right| < \varepsilon \]

больше, чем

\[ 1 - \eta \]

Насколько эта формулировка соответствует приведенной ранее? Мне кажется, она более слабая ведь в предыдущей формулировке говорилось о том что это неравенство должно выполнятся с вероятностью 1, а здесь с вероятностью сколь угодно близкой к 1.

[Gordmit]

Может быть дело в том, что

$$\forall\eta>0\quad 1-\eta<\mathsf{P}(A)\leqslant 1\quad \Leftrightarrow\quad \mathsf{P}(A)=1$$

? (Разумеется, если $A$ не зависит от $\eta$.)

[Diom]

В том то и дело что А зависит от

\[ \eta \]

через

\[ n_0 \]

, которое очевидно может меняться при изменении

\[ \eta \]

или

\[ \varepsilon \]

[Diom]

Вот предположим последовательность случайных величин такова, что как только

\[n > n_0 \]

где:

\[ n_0 \sim \frac{1}{{\eta \varepsilon }} \]

выполняется:

\[ \mathop {\max }\limits_{n > n_0 } \left| {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\xi _i } - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {M\xi _i } } \right| < \varepsilon \]

с вероятностью

\[1 - \eta \]

тогда очевидно что в соответствии с формулировкой Гниденко последовательность случайных величин подчиняется УЗБЧ, в то время как:

\[ P\left\{ {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\xi _i } - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {M\xi _i } } \right| = 0} \right\} \ne 1 \]

[Gordmit]

Ну так там же, насколько я понял, Гнеденко показывает, чем отличается ЗБЧ от УЗБЧ: в первом утверждается, что для достаточно большого $n$ вероятность одного единственного неравенства

$$\left|\frac1n\sum\xi_k-\frac1n\sum\mathsf{M}\xi_k\right|<\varepsilon$$

может быть сделана больше $1-\eta$ при любом $\eta>0$, а во втором - что вероятность одновременного выполнения целых $s$ неравенств (причем s любое):

$$\max_{n_0\leqslant n\leqslant n_0+s}\left|\frac1n\sum\xi_k-\frac1n\sum\mathsf{M}\xi_k\right|<\varepsilon$$

может быть сделана выбором $n_0$ сколь угодно близкой к 1.
Может в этом отличие и состоит?