Электрическое поле кольца

[Z.S.]

Имеется тонкое кольцо радиуса $r$. Кольцо непроводящее. На кольце находится электрический заряд $Q$ , равномерно распределенный по поверхности кольца. Кольцо лежит в плоскости $YZ декартовой системы координат. Ось симметрии кольца совпадает с осью $X$. Напряженность электрического поля, на оси симметрии кольца, на расстоянии $x$ от начала координат будет:

$E_{x}=kQ \frac{1}{R^{3}}x$

Здесь $R^{2}=x^{2}+r^{2}$

Пусть теперь кольцо вращается с постоянной окружной скоростью $\upsilon << c $. Т.о. точки кольца двигаются с ускорением. Величина ускорения соответственно $w= \upsilon ^{2}/r $. Насколько я понимаю, чтобы непосредственно найти напряженность электрического поля, на оси симметрии вращающегося заряженного кольца, на расстоянии $x$ от начала координат надо записать вначале такое выражение:

$E_{x\Sigma}=E_{x\upsilon}+E_{xw}$

Здесь идет учет релятивистской поправки

$E_{x\upsilon}=kQ \frac{1}{R^{3}}x\frac{1}{\sqrt{1-\upsilon^{2} /c^{2}}}=E_{x}(1+\frac{\upsilon^{2}}{2c^{2}})$

По какой формуле считать $E_{xw}$ - вклад от ускорения зарядов на кольце?

[Munin]

Сначала, а как вы $E_{xv}$ взяли? Из пальца высосали?

[Z.S.]

Я посчитал, что $Q=Nq$, где $q $ - элементарный заряд. Если заряд $q$ движется в плоскости $YZ$, по окружности радиуса $r $ , с центром в начале координат, то соответственно формула для поля заряда, если вектор скорости $\vec{\upsilon}$ перпендикулярен радиус-вектору $\vec{R}$ ( $\theta =\pi/2$, радиус вектор проведен от заряда в точку на оси X):

$\vec{E_{q}}=\frac{kq}{R^{3}} \frac{\vec{R}(1-\beta ^{2})}{(1-\beta ^{2}\sin^{2}\theta)^{3/2}}=\frac{kq}{R^{3}} \frac{\vec{R}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}} $

Проекция на ось $X$:

$E_{qx\upsilon}=kq \frac{1}{R^{3}}x\frac{1}{\sqrt{1-\upsilon^{2} /c^{2}}}=E_{qx}(1+\frac{\upsilon^{2}}{2c^{2}})$

Следуя принципу суперпозиции получим для $N $ зарядов $q$ :

$E_{x\upsilon}=NE_{qx\upsilon}=kQ \frac{1}{R^{3}}x\frac{1}{\sqrt{1-\upsilon^{2} /c^{2}}}=E_{x}(1+\frac{\upsilon^{2}}{2c^{2}})$

Где неверно?

[AnatolyBa]

Вы используете формулу для равномерно движущегося заряда. Она здесь не применима.
А вы обязательно хотите вычислить напряженность таким образом? Это интересно но не рационально.

[Munin]

Расчёт неплохой, но таким же способом можно и ускорение учесть. Если заглянуть в тот же учебник, из которого были списаны соответствующие формулы.

И перестаньте писать скорость как $\upsilon.$ Правильное обозначение $v.$

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1068503 писал(а):

Если заглянуть в тот же учебник, из которого были списаны соответствующие формулы.

Про какой учебник идёт речь?

AnatolyBa в сообщении #1068493 писал(а):

Вы используете формулу для равномерно движущегося заряда. Она здесь не применима.

А если рассматривать заряды, равномерно движущиеся по окружности?

[AnatolyBa]

Ну, я то имел в виду ЛЛ-2 в данном случае.
Формула, которую ТС написал - (38.8). Правильная формула в другом месте. Подскажу потом, если потребуется.
Если рассматривать заряды равномерно движущиеся по окружности - конечно все получится

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1068699 писал(а):

Про какой учебник идёт речь?

Это автора темы, Z.S., надо спрашивать.

Но в любом учебнике, в котором такие формулы вводятся, даны и сопутствующие пояснения. Пример - да, ЛЛ-2.

-- 31.10.2015 17:28:33 --

AnatolyBa в сообщении #1068714 писал(а):

Формула, которую ТС написал - (38.8). Правильная формула в другом месте. Подскажу потом, если потребуется.

(38.8) правильная, разумеется. Для той задачи, для которой написана.

[Z.S.]

Вот, взял часть содержащую ускорение , из учебника ( И.В.Савельев , Основы теоретической физики, Т.1), в формуле (78.24) на стр. 324:

$\vec{E}_{qw}=kq\frac{\vec{R}\times ((\vec{R}-R\vec{\beta} )\times\dot{\vec{\beta}}/c) }{(R-\vec{R}\vec{\beta})^{3} }=kq\frac{(\vec{R}\dot{\vec{\beta}}/c) (\vec{R}-R\vec{\beta} )-(R\dot{\vec{\beta}}/c)(R-\vec{R}\vec{\beta}) }{(R-\vec{R}\vec{\beta})^{3} }$

Получается так, что:

1). $\vec{i}\dot{\vec{\beta}}=0$

2). $\vec{i}\vec{\beta}=0$

3). $\vec{R}\vec{\beta}=0$

4). $\vec{R}\dot{\vec{\beta}}/c=\frac{v^{2}}{c^{2}}$

Здесь $\vec{i}$ - орт декартовых координат. Так что проекция вектора $\vec{E}_{qw}$ на ось $X$:

$E_{xqw}=\vec{i}\vec{E}_{qw}=kq\frac{v^{2}}{c^{2}} \frac{x}{R^{3}}$

Применяя принцип суперпозиции, с учетом того, что $ \beta ^2=(1-\frac{1}{\gamma ^{2}})$, где $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}$ :

$E_{xw}=NE_{xqw}=kQ\frac{v^{2}}{c^{2}} \frac{x}{R^{3}}=kQ(1-\frac{1}{\gamma ^{2}}) \frac{x}{R^{3}}$

В итоге для поля на оси вращающегося кольца:

$E_{x\Sigma}=E_{xv}+E_{xw}=kQ(\gamma +1-\frac{1}{\gamma ^{2}})\frac{x}{R^{3}} $

При достаточно большом $\gamma $ получим $ E_{xv}>>E_{xw}$, т.е. вклад от скорости может быть намного больше чем вклад от ускорения.

Окружим наше кольцо сферической поверхностью. Мы знаем, что поток вектора $\vec{E}$ через эту поверхность будет равен $4\pi kQ=\Phi = \operatorname{const} $. Для простоты положим, что $R>>r$, $x>>r$, $y>>r$, $z>>r$, и начнем измерять напряженность поля вокруг вращающегося кольца.

Получается интересная вещь. Если мы видим некий заряд, двигающийся прямолинейно, с постоянной скоростью относительно инерциального наблюдателя, то поле заряда "сплющивается" к плоскости перпендикулярной направлению движения.

Если же мы видим вращение заряженного кольца, то поле кольца тоже деформируется - "спрямляется", но уже к оси вращения кольца, которая перпендикулярна плоскости в которой кольцо вращается. Т.е. по оси кольца поле усиливается и этим процессом можно управлять, изменяя скорость вращения кольца. Т.о. поле нашего вращающегося заряженного кольца станет стационарным вихревым полем, в отличие от потенциального поля неподвижного заряженного кольца.

Дальше возникают вопросы (непонятки):
1. Если на оси вращения кольца, на расстоянии $x$ от плоскости вращения, поместить пробный заряд, то сила действующая на пробный заряд со стороны кольца будет больше, чем со стороны пробного заряда на кольцо.
2. Если в плоскости $XY$ в квадранте $x>0, y>0$ поместить замкнутый виток (катушку) с вольтметром, то мы должны увидеть ЭДС, если поле вихревое.

Где здесь собака зарыта?

[Munin]

Z.S. в сообщении #1068828 писал(а):

Т.о. поле нашего вращающегося заряженного кольца станет стационарным вихревым полем

А вот врать не надо. Посчитайте вихрь поля, и убедитесь.

Z.S. в сообщении #1068828 писал(а):

Где здесь собака зарыта?

В говорильне без расчётов.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1068846 писал(а):

Z.S. в сообщении #1068828 писал(а):

Т.о. поле нашего вращающегося заряженного кольца станет стационарным вихревым полем

А вот врать не надо. Посчитайте вихрь поля, и убедитесь.

Z.S. в сообщении #1068828 писал(а):

Где здесь собака зарыта?

В говорильне без расчётов.

Топикстартер намекает, что ток движущихся зарядов порождает магнитное поле.

[Munin]

Да запросто. А вот вихревого электрического нет.

[Z.S.]

Munin
Признаю полную обоснованность этого вашего замечания. Это я что-то увлекся. Сделал утверждение от балды, не проведя расчета. Так что этот вопрос №2 я снимаю. Была у меня мысль посчитать сначала, а потом что-то утверждать, а я поленился. Но вопрос №1 ведь остается? Он же возникает из того что по оси кольца поле усиливается и независимости величины заряда кольца от скорости. Ну, т.е. формула показывает что при вращении заряженного кольца поле по оси $x$ , больше, чем поле покоящегося кольца.

мат-ламер
Нет, здесь Munin абсолютно прав, речь шла именно об электрическом поле. Ведь можно представить абстракно два одноименно заряженных кольца, бесконечно близко расположенных, но вращающихся противоположно, магнитного поля тогда нет. Тут мой прокол, очевидно.

[AnatolyBa]

Формула для $E_q_w$ правильная, а для $E_q_v$ нет. Если возьмете правильную, парадокс пропадет

[Munin]

Z.S. в сообщении #1068879 писал(а):

Но вопрос №1 ведь остается? Он же возникает из того что по оси кольца поле усиливается и независимости величины заряда кольца от скорости.

Понимаете, понятие "вихревое поле" основано не на значении поля в какой-то точке, или даже на какой-то линии. Оно основано на поле во всём пространстве. (По крайней мере, на какой-то поверхности, или на замкнутой линии.) Поэтому ваше гадание по оси - неправомерно. Вот найдите поле во всём пространстве, или хотя бы в окрестности оси - тогда и можно будет посчитать ротор, и сказать, вихревое поле или нет.

А можно сказать и сразу. Все эти формулы, хоть и выглядят сложно и получаются заумно, на самом деле строго следуют из уравнений Максвелла, и подчиняются им. А в уравнениях Максвелла значится

$$\operatorname{rot}\mathbf{E}=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.$$

И отсюда моментально следует, что для любой стационарной задачи вихревого электрического поля быть не может. Если у одной ускоренно движущейся частицы вихрь поля и будет, то у заряженного кольца - нет, потому что вклады от разных зарядов друг друга скомпенсируют.