Доказательство теоремы о неявной функции методом итераций

[sergei1961]

Вопрос: в каких наших и не наших известных учебниках по Анализу теорема о неявной функции доказывается методом итераций с использованием принципа сжимающих отображений? Хотелось бы составить список подлиннее.

[ewert]

Я в учебники редко заглядываю, поэтому встречный вопрос: а в каких она, собственно, доказывается иначе?...

(то, что принципа сжимающих отображений в явном виде может и не быть, дела не меняет: тогда он просто протаскивается неявно)

[sergei1961]

Фихтенгольц, Зорич-обычное доказательство, без итераций.

[Padawan]

В Фихтенгольце и с итерациями есть доказательство. Но уже во втором томе, где функциональные последовательности и ряды излагаются. Фихтенгольц вообще уникальный учебник по богатству материала.

[sergei1961]

Фихтенгольц-был неправ, каюсь. В замаскированном виде есть у Шилова. У Кудрявцева, Зорича-вроде без итераций.

[ewert]

Зорич вроде бы просто перефразирует Фихтенгольца. Ну так и доказательства у них обоих вполне безумны по объёму.

У нас в зависимости от факультета эту теорему либо просто дают без доказательства, либо доказывают через принцип сжимающих отображений. Во всяком случае, так делаю я, но и другие тоже (я спрашивал у студентов в 4-м семестре, знаком ли им этот принцип; и хотя через полгода-год они уже всё, конечно, забыли, но довольно уверенно отвечали, что знаком, и именно по курсу матанализа).

[Padawan]

ewert в сообщении #1068000 писал(а):

Ну так и доказательства у них обоих вполне безумны по объёму.

Я за 1 пару укладываюсь :)

[kp9r4d]

У Зорича во втором томе в параграфе "общая теорема о неявной функции" тоже доказывается через сжимающие отображения.

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1068011 писал(а):

Я за 1 пару укладываюсь :)

Это непозволительная роскошь -- тратить пару на какую-то одну теоремку.

[tolstopuz]

У Рудина во втором издании теорема об обратной функции (он считает, что она важнее теоремы о неявной функции) доказывается каким-то непостижимым способом всего на трех страницах, а в третьем издании - через принцип сжимающих отображений на двух страницах.

[Brukvalub]

Отмечу один существенный для меня аспект: если доказательство теоремы о неявной функции проводить традиционным способом, используя т. Коши о промежуточном значении непрерывной функции и манипуляции с раздуванием окрестностей, то такое доказательство нетрудно подкрепить иллюстрирующим идею доказательства рисунком, и у слушателей остается ощущение, что они сопричастны к секрету доказательства и понимают его.
В случае же, когда используется механизм сжимающих отображений, появление нужной функции остается для слушателей непостижимым фокусом, поскольку "что-то там к чему-то сошлось", но увидеть это наглядно невозможно.

[Padawan]

Не, теорема об одной неявной функции настолько простая и наглядная, что странно даже думать её доказать через метод итераций. Я-то имел ввиду про систему неявных функций, т.е. про неявное отображение. Там в традиционном доказательстве используется противная индукция с техническими вычислениями якобианов, хотя на идейном-то уровне всё просто...

[ewert]

На идейном уровне абсолютно прав Рудин: обратная функция должна предшествовать неявной. Т.к. хотя эти две теоремы и примерно одинаково пересчитываются друг в дружку, но теорема об обратной функции -- существенно проще по формулировке. И, следовательно, обязана идти первой.

При этом одномерную теорему об обратной функции доказывать итерациями, естественно, нелепо. А вот многомерную -- в точности наоборот. Поскольку её идейность заключается ровно в том, что любое отображение в первом приближении линейно. И сжимающие отображения эту идейность подчёркивают, координатная же возня -- запудривает.

-- Сб окт 31, 2015 21:56:49 --

tolstopuz в сообщении #1068581 писал(а):

а в третьем издании - через принцип сжимающих отображений на двух страницах.

Это уму непостижимо -- как можно растянуть это доказательство на две страницы. Одной (даже типографской) за глаза хватит, в пересчёте же -- минут двадцать лекции. Плюс ещё минут двадцать на собственно принцип сжимающих отображений; ну накинем ещё двадцать люфта на привыкание к новым понятиям. Итого на всё про всё -- не более одного часа (астрономического); но уж никак не полтора.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1068821 писал(а):

Поскольку её идейность заключается ровно в том, что любое отображение в первом приближении линейно.

Прямо оторопь берет, неужели и отображение, задаваемое функцией Дирихле, в первом приближении линейно?

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1068868 писал(а):

неужели и отображение, задаваемое функцией Дирихле, в первом приближении линейно?

В этом я не очень уверен. Но смутно припоминаю, что Дирихле не вполне дифференцируем. Кажется.