Доказательство теоремы о неявной функции методом итераций

[Brukvalub]

В ответ припоминаю, что слово "любое" синонимично словам "каждое", "всякое", "произвольно выбранное".

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub, а чего ж Вы ожидали. Вы задали откровенно провокационный вопрос. Я не менее адекватно и ответил.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Я хотел, чтобы Вы добавили в свой комментарий слово "дифференцируемое", без которого Ваш комментарий про линеаризацию произвольного отображения, как Вы любите выражаться, вполне бессмыслен.

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1068885 писал(а):

без которого Ваш комментарий про линеаризацию произвольного отображения, как Вы любите выражаться, вполне бессмыслен.

А с оным -- был бы абсолютно зануден. Я как-то предпочитаю второму первое.

Всё, отключаюсь. А то щас злобные модеры набегут.

[мат-ламер]

Извиняюсь за крамольную мысль. А зачем вообще студентам рассказывать доказательство этой теоремы? Может её давать без доказательства? А затем заинтересованным товарищам в курсе углублённого анализа давать эту теорему со всей строгостью (в нормированных пространствах и с помощью принципа сжимающих отображений)?

[Padawan]

В принципе можно всё давать без доказательства. Определение, теорема, определение, теорема.

[Brukvalub]

мат-ламер в сообщении #1069043 писал(а):

зачем вообще студентам рассказывать доказательство этой теоремы? Может её давать без доказательства?

Мысль не новая. Часто в курсах мат.анализа для непрофильных факультетов так и делают.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #1069043 писал(а):

А зачем вообще студентам рассказывать доказательство этой теоремы?

Затем, что невозможно вообще ничего не доказывать -- это просто не будет восприниматься. Стиль "определение-теорема", в принципе, возможен, если его грамотно выстроить. Только вот воспринимать такой стиль способны лишь люди с уже достаточно высокой математической подготовкой.

Другой вопрос -- что именно доказывать, а что нет. Если в принципе, то ответ прост: нематематикам не следует излагать слишком тяжёлые доказательства. Например, в первом семестре никто не доказывает основную теорему алгебры, только формулируют (и в первую очередь даже не из-за сложности, а из-за того, что любое разумное доказательство не алгебраично). Во втором или третьем -- теорему о существовании и единственности решения задачи Коши: слишком громоздко. А вот теорема об обратной функции и принципиальна, и довольно проста. Принцип же сжимающих отображений ещё принципиальнее и ещё проще. И хоть формально он относится более-менее к функциональному анализу -- так функан потом далеко не у всех будет. А вот вычислительная математика -- практически у всех, и там без этого принципа никак. Так почему бы не дать его заранее в курсе анализа, тем более что там он и дёшев, и к месту?

[Padawan]

ewert в сообщении #1068821 писал(а):

Поскольку её идейность заключается ровно в том, что любое отображение в первом приближении линейно. И сжимающие отображения эту идейность подчёркивают, координатная же возня -- запудривает.

Не соглашусь. Доказательство теоремы о неявном отображении методами дифф. исчисления по индукции, если его правильно преподнести, имеет очень наглядный геометрический смысл, и индукция по своей идее очень простая. Геометрический смысл: уравнения, задающие условия связи, задают некоторые поверхности, которые в окрестности рассматриваемой точки представляют собой почти гиперплоскости, значит пересечение эти поверхностей устроено так же, как пересечение гиперплоскостей. Идея индукции: пусть надо систему из $m$ уравнений разрешить относительно переменных $y_1,\ldots, y_m$, выразив их через переменные $x_1,\ldots, x_n$. По теореме о неявной функции можно разрешить одно из уравнений, пусть последнее, $y_m=\psi(x_1,\dots,x_n,y_1,\ldots, y_{m-1})$. Значит, можно ввести новые координаты, $x^\ast_1,\ldots,x^\ast_n,y^\ast_1,\ldots, y^\ast_m$ в которых соответствующая поверхность задаётся уравнением $y^\ast_m=0$. Тогда остается воспользоваться предположением индукции, рассмотрев вместо исходных поверхностей их пересечения с гиперплоскостью $y^\ast_m=0$, т.е. уже $m-1$ поверхности в $n+m-1$-мерном пространстве.

Недостаток: 1) для обоснования всего этого нужна возня с якобианами 2) теорема получается исключительно конечномерной. Достоинство: наглядность.

[ewert]

Padawan в сообщении #1069176 писал(а):

, которые в окрестности рассматриваемой точки представляют собой почти гиперплоскости,

Так это ровно и означает примерно линейность, не больше и не меньше. Однако представлять себе плоскость непременно в координатном представлении -- это некоторое извращение. Плоскость -- она и есть плоскость, это некоторая вещь в себе, это нечто описывающееся линейно. А уж как конкретно -- да кому какая разница.