Схемы вывода

[maximk]

iifat в сообщении #1066107 писал(а):

А что, определён?

Признаюсь, здесь моя некомпетентность в этой вопросе. Буду вам благодарен, если вы мне объясните, что есть универсум и в каком случае он считается определенным.

[provincialka]

iifat
расскажет лучше, я знаю только универсум для понятий. Например, что такое "не береза"? Дуб, клён, ива, баобаб, ...? Или также "честность", "стол", "красный цвет" и "участник maximk". Согласитесь, все перечисленные понятия -- не березы!

Так что говоря "не береза" мы, видимо, имеем в виду "дерево, но не береза".

Что касается вашего примера, то у вас первое высказывание имеет вид $a=A(G,n)$, где $G$ -- группа, $n$ -- некоторое натуральное число. Второе же имеет вид $b=B(G,n)$ где $n$ -- некоторое простое число. Возможно, другое, не то, что в высказывании $a$. И как же вы соираетесь эти два высказывания связывать?

[maximk]

provincialka, во всех высказываниях $n$ - простое, просто не указал.

[arseniiv]

maximk в сообщении #1066087 писал(а):

А вообще интересно, что обычно в доказательствах используют только одну схему вывода, хотя есть такой широкий логический спектр.

Непонятно. Почему одну? Кучу всего используют.

[maximk]

arseniiv, ну не одну. По большому счету используются метода мат. индукции, доказательство от противного, ну и стандартный "цепной" вывод (ну и еще 2-3 метода). По крайней мере я пока не встречал чего-то такого необычного. Или вы о тех схемах, которые используются например в аналитической теории чисел?

[arseniiv]

maximk в сообщении #1066264 писал(а):

По крайней мере я пока не встречал чего-то такого необычного.

Да море. Например, $\dfrac{A\mathbin{\underline\vee}B\quad \neg A}{B}$, где $\underline\vee$ — строгая дизъюнкция. Или $\dfrac{a = b}{f(a) = f(b)}$, это просто следствие аксиом равенства. А вот как раз $\dfrac{(A\to B)\to C}{\neg A\to C}$ среди интуитивных логических шагов, по мне, нету.

-- Сб окт 24, 2015 22:48:43 --

maximk в сообщении #1066264 писал(а):

Или вы о тех схемах, которые используются например в аналитической теории чисел?

Вряд ли там есть какие-то новые «низкоуровневые», которые обычно не оформляют в виде «применением теоремы X получим из того это».

[maximk]

arseniiv, есть предчувствие, что применение таких интуитивно неочевидных схем (а их предостаточно) привнесет много интересных результатов в различных областях математики. Как вы считаете?

[arseniiv]

Я так не считаю.

[iifat]

provincialka в сообщении #1066202 писал(а):

Согласитесь, все перечисленные понятия -- не березы!

Дык и я именно об том.

provincialka в сообщении #1066202 писал(а):

Так что говоря "не береза" мы, видимо, имеем в виду "дерево, но не береза"

Чтением мыслей промышляете? Я как раз задумался, как подставить в формулу вместо $G$ стул, на котором сижу. Ваше предположение логично, но таки, согласитесь, не единственно логичное. Что есть отрицание «$G$ — конечная группа»? Бесконечные группы? Множества без заданной операции? Вообще что угодно, включая мой многострадальный стул? Куда могут завести рассуждения, не учитывающие области определения используемых функций?

maximk в сообщении #1066264 писал(а):

я пока не встречал чего-то такого необычного

Что-то типа (пересматривал вчера старый КВН) «почему дома строят из кирпичей, а не фигур тетриса». Ну, во-первых, унифицированные кирпичи удобнее именно своей универсальностью; во-вторых, фигуры тетриса делались бы из тех же кирпичей, так что здание можно построить кучей способов и по построенному зданию, вообще говоря, не скажешь однозначно, из чего оно построено; ну и в-третьих, как сказал arseniiv, таки далеко не один способ.

[maximk]

iifat, а как же в методе от противного понимать отрицание? Каков универсум?

[iifat]

maximk в сообщении #1066412 писал(а):

как же в методе от противного

В таких доказательствах, по-моему, присутствует всегда некая преамбула, описывающая предметную область. Возьмите хоть доказательство Кантора, почему-то оно первым припоминается «от противного». Можно ли там помыслить где-нить посягательство на мой стул?

[maximk]

"Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств".
От противного. Пусть не верно, что любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.
Ну и понеслось.
"Граф не содержит подграфов, гомеоморфных $K_5$ или $K_{3,3}$, тогда он планарный граф"
От противного. Пусть граф не содержит подграфов, гомеоморфных $K_5$ или $K_{3,3}$, и является планарным, но не графом (а стулом, например (хотя "теоретический" стул и можно рассматривать как граф)).

(Оффтоп)

Последний пример не очень, согласен. Ну можно еще рассмотреть доказательство бесконечности множества простых чисел. Ясно, что это доказательство можно подвергнуть подобной "критике" (уж не знаю, можно ли это так назвать). Также ясно, что список далеко не исчерпывается примерами, приведенными выше.

[maximk]

И кстати, неужто понимание утверждения "$G$ не является конечной циклической группой порядка $n>1$" так уж важно? Считаю, что понимать это утверждение можно как угодно, главное, чтоб оно выполнялось (т.е. неверно, что G - конечная группа (может быть как бесконечной группой, так и не быть группой вообще); неверно, что если G - конечная группа, то ее порядок $n>1$; неверно, что если $G$ - группа, то она циклическая и т.д.). Пусть универсум будет сколь угодно большим.

[Xaositect]

maximk в сообщении #1066278 писал(а):

arseniiv, есть предчувствие, что применение таких интуитивно неочевидных схем (а их предостаточно) привнесет много интересных результатов в различных областях математики. Как вы считаете?

Сомнительно, потому что его можно заменить на другие с константным увеличением длины доказательства. Вот сечения (правило $A \to B, B\to C \vdash A\to C$, по сути использование лемм) требуют кратного увеличения длины, для того, чтобы их убрать, поэтому они существенно упрощают доказательства.

[iifat]

maximk в сообщении #1066469 писал(а):

неужто понимание утверждения "$G$ не является конечной циклической группой порядка $n>1$" так уж важно?

Не могу сказать точно. Понимание-то — оно всегда важно. Меня больше смущают два других — про порядки элементов, образующие и т.п. Элементы, к примеру, есть у множеств; означает ли это, что отрицанием первого высказывания будет на самом деле «любое множество, не являющееся конечной группой»?

maximk в сообщении #1066448 писал(а):

Пусть не верно, что

Пожалуй, зря я про Кантора ляпнул. Теорема Кантора — о несуществовании, и противное в данном случае как раз предельно конкретно определено.

maximk в сообщении #1066448 писал(а):

Пусть граф не содержит подграфов, гомеоморфных $K_5$ или $K_{3,3}$, и является планарным, но не графом

А тут уже вас понесло, по-моему. Поищу-ка я эту теорему. Или, может, ссылочка под рукой найдётся?