2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исследовать ряд на равномерную сходимость
Сообщение23.10.2015, 18:46 


16/03/09
4
Помогите исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{x}\sin nx}{n}$ на равномерную сходимость на $(0,\pi)$. Пока удалось выяснить только следующее: ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n}$ сходится на $(0,\pi)$ неравномерно, следовательно последовательность $S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n \sin kx$ не является равномерно ограниченной на $(0,\pi)$. Для любого $0<\delta<\pi$ последовательность $S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n \sin kx$ равномерно ограничена на $[\delta,\pi)$, следовательно ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n}$ сходится равномерно на $[\delta, \pi)$ по признаку Дирихле. Отсюда, в силу ограниченности функции $\sqrt{x}$ на $[\delta,\pi)$ следует, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{x}\sin kx}{k}$ сходится равномерно на $[\delta,\pi)$ по признаку Дирихле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на равномерную сходимость
Сообщение23.10.2015, 22:11 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Могу предложить несколько этапов
1.Найти сумму этого ряда (очень простая) и увидим, что это ограниченная функция, стремящаяся к 0 в нуле.
2.Доказать , что суммы $\varphi_N(x)=\sum_{n=1}^N\frac{\sin nx}{n}$ равномерно ограничены одной константой (как доказывать, я что-то не вижу. Матпакеты показывают, что эта константа- двойка)
3.А дальше обычные рассуждения - по $\varepsilon$ найти $\delta$, что на $[0,\delta )$ $|\sqrt x\varphi_N(x)-f(x)|<\varepsilon$, а по $\delta$ найти $N$ из того, что на $[\delta ,\pi]$ равномерная

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на равномерную сходимость
Сообщение23.10.2015, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
iancaple в сообщении #1065926 писал(а):
Доказать , что суммы $\varphi_N(x)=\sum_{n=1}^N\frac{\sin nx}{n}$ равномерно ограничены одной константой (как доказывать, я что-то не вижу. Матпакеты показывают, что эта константа- двойка)

Равномерная ограниченность этих сумм доказана, например, в уникально-техничном учебнике Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков Лекции по математическому анализу (стр. 440 в издании 2003 г., изд-во Дрофа ).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group