Исследовать ряд на равномерную сходимость

[eugene1]

Помогите исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{x}\sin nx}{n}$ на равномерную сходимость на $(0,\pi)$. Пока удалось выяснить только следующее: ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n}$ сходится на $(0,\pi)$ неравномерно, следовательно последовательность $S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n \sin kx$ не является равномерно ограниченной на $(0,\pi)$. Для любого $0<\delta<\pi$ последовательность $S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n \sin kx$ равномерно ограничена на $[\delta,\pi)$, следовательно ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n}$ сходится равномерно на $[\delta, \pi)$ по признаку Дирихле. Отсюда, в силу ограниченности функции $\sqrt{x}$ на $[\delta,\pi)$ следует, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{x}\sin kx}{k}$ сходится равномерно на $[\delta,\pi)$ по признаку Дирихле.

[iancaple]

Могу предложить несколько этапов
1.Найти сумму этого ряда (очень простая) и увидим, что это ограниченная функция, стремящаяся к 0 в нуле.
2.Доказать , что суммы $\varphi_N(x)=\sum_{n=1}^N\frac{\sin nx}{n}$ равномерно ограничены одной константой (как доказывать, я что-то не вижу. Матпакеты показывают, что эта константа- двойка)
3.А дальше обычные рассуждения - по $\varepsilon$ найти $\delta$, что на $[0,\delta )$ $|\sqrt x\varphi_N(x)-f(x)|<\varepsilon$, а по $\delta$ найти $N$ из того, что на $[\delta ,\pi]$ равномерная

[Brukvalub]

iancaple в сообщении #1065926 писал(а):

Доказать , что суммы $\varphi_N(x)=\sum_{n=1}^N\frac{\sin nx}{n}$ равномерно ограничены одной константой (как доказывать, я что-то не вижу. Матпакеты показывают, что эта константа- двойка)

Равномерная ограниченность этих сумм доказана, например, в уникально-техничном учебнике Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков Лекции по математическому анализу (стр. 440 в издании 2003 г., изд-во Дрофа ).