Момент инерции тонкого сферического слоя

[4caster]

Доброго времени суток.
Что может быть лучше холодным осенним вечером? Конечно же, ботать физику. Решал задачи Иродова, и наткнулся на эту:

Цитата:

Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы $m$ и радиуса $R$ относительно оси, проходящей через его центр.

Конечно, особых проблем у меня бы не возникло, если бы не было условия "Исходя из формулы для момента инерции однородного шара". Задача интересная, начал решать.
Решил сделать так: Из момента инерции всего шара радиусом $R$ вычесть момент инерции шара с радиусом $(R-r)$, где $r<<R$.

$Iсферы = I (R) - I (R-r) = 2/5\cdot m\cdot R^2 - 2/5\cdot m_0\cdot (R-r)^2 $ ,$m_0$- масса сферы радиусом $R-r$.

Чтобы избавиться от $m_0$ и так как шар однородный выразил $m$ и $m_0$ как произведение объема на плотность:

$I cферы = 8/15\cdot \pi\cdot p \cdot R^5 - 8/15\cdot \pi\cdot p \cdot (R-r)^5 $ , $p$ - плотность шара

Что делать дальше, я не представляю. Какие есть идеи? Нужно как то избавиться от $r$, имея ввиду то, что $r<<R$, но ничего в голову не приходит(

Pphantom:

Заголовок темы изменен на более содержательный.

[Viktor92]

Думаю, тут надо использовать свойство дифференциала функции:

$$\triangle I =I(R+ \triangle R)-I(R)=\frac {dI}{dR}\triangle R$$

[мат-ламер]

4caster в сообщении #1065828 писал(а):

найти момент инерции тонкого сферического слоя

Что значит "тонкий слой"? Может они имеют в виду просто сферу? Разность пятых степеней можно разложить на два множителя. Старшие степени $(R-r)^n$ можно отбросить.

[4caster]

Viktor92 в сообщении #1065870 писал(а):

Думаю, тут надо использовать свойство дифференциала функции:

$$\triangle I =I(R+ \triangle R)-I(R)=\frac {dI}{dR}\triangle R$$

Можете, пожалуйста, поподробней?) Не понимаю, как применить

-- 23.10.2015, 21:36 --

мат-ламер в сообщении #1065880 писал(а):

4caster в сообщении #1065828 писал(а):

найти момент инерции тонкого сферического слоя

Что значит "тонкий слой"? Может они имеют в виду просто сферу? Разность пятых степеней можно разложить на два множителя. Старшие степени $(R-r)^n$ можно отбросить.

Так и есть, имеется ввиду сфера. Можете описать? На словах трудно воспринимается)

[мат-ламер]

4caster в сообщении #1065887 писал(а):

Можете описать?

Описать что? Разных пятых степеней? Оно раскладывается аналогично разности третьих степеней.

[4caster]

мат-ламер в сообщении #1065889 писал(а):

4caster в сообщении #1065887 писал(а):

Можете описать?

Описать что? Разных пятых степеней? Оно раскладывается аналогично разности третьих степеней.

x^5 - y^5 = (x - y) (x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$

я правильно понял, что вы предлагаете отбросить вторую скобку?

[12d3]

Для начала, надо избавиться от плотности, использовав массу слоя. А потом устремить в получившемся выражении толщину слоя к нулю.

[Viktor92]

4caster в сообщении #1065887 писал(а):

Можете, пожалуйста, поподробней?) Не понимаю, как применить

Дать мысленно приращение $dR$ сферы и найти $dI$ приращение момента инерции по формуле написанную мной выше (вместо $\triangle R$ можно сразу писать бесконечно малые приращения $dR$), массу выражать через плотность, как вы и делали, а величина $ \rho 4\pi R^2dR$ которая должна в результате выкладок у вас получится, есть масса $m$ бесконечно тонкого сферического слоя.

[мат-ламер]

4caster в сообщении #1065893 писал(а):

я правильно понял, что вы предлагаете отбросить вторую скобку?

Во второй скобке оставьте только первый член.

-- Пт окт 23, 2015 22:02:52 --

В том что получится, выделите площадь сферы.

[DimaM]

Замечу, что момент инерции сферы можно найти еще проще, если в должной мере использовать симметрию.

[Munin]

4caster

(Оффтоп)

Минус в формулах надо писать обычный, иначе он извратится в неправильный значок.

[4caster]

Viktor92 в сообщении #1065899 писал(а):

4caster в сообщении #1065887 писал(а):

Можете, пожалуйста, поподробней?) Не понимаю, как применить

Дать мысленно приращение $dR$ сферы и найти $dI$ приращение момента инерции по формуле написанную мной выше (вместо $\triangle R$ можно сразу писать бесконечно малые приращения $dR$), массу выражать через плотность, как вы и делали, а величина $ \rho 4\pi R^2dR$ которая должна в результате выкладок у вас получится, есть масса $m$ бесконечно тонкого сферического слоя.

Я пытался сделать, как вы посоветовали. У меня ничего не выходит. В итоге должно получиться $2/3m \cdot R^2$ но блин, как не пытался, не получается. Можете написать, как все должно выйти? Никогда еще так много времени на одну задачу не тратил.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1065880 писал(а):

Старшие степени $(R-r)^n$ можно отбросить.

Вот где ошибка. (Я считал, что $r$ - радиус внутреннего шара. Оказалось это толщина сферы). Отбрасывать надо старшие степени $r$. Можно считать $R^5-(R-r)^5=5R^4r$.
Дальше выделить массу сферы $m=4\pi R^2rp$.

[мат-ламер]

4caster
Что-то получается?

[4caster]

мат-ламер в сообщении #1067500 писал(а):

4caster
Что-то получается?

А почему у массы такая странная формула? 4/3 потеряли?