квазилинейное ДУ 4 порядка

[KostblLb]

Есть уравнение:
$u_{ttxx}=u_{tt}^2$

Нужно найти его характеристики и общее решение. У меня получилось такое характеристическое уравнение:

$$\psi_t^2\psi_x^2=\psi_t^4 \to \left\{ \begin{array}{rcl} x=const \\ x-t=const \\ x+t=const \\ \end{array} \right.$$

Но так как уравнение 4 порядка, не хватает ещё одной характеристики. Мне посоветовали найти характеристики для системы уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{} u_{tt} = w \\ w_{xx} = w^2 \\ \end{array} \right.$$

Как искать харатеристики для таких систем, я не знаю. Возможно, должен быть другой способ. Помогите, пожалуйста.

[KostblLb]

оказалось, что у него есть некая двойная(или кратная) характеристика из $\psi_t^2=0$. об этом что-нибудь известно?

[Red_Herring]

Характеристики Вы нашли правильно, обе 2-кратные.

1) Чтобы найти общее решение обозначьте $u_{tt}=w$ и решите полученное ОДУ по $x$. Увы, если Вы ничего не напутали последний интеграл — неэлементарный.

2) После нахождения $u_{tt}$ дважды интегрируйте по$ t$

[KostblLb]

Спасибо! Тогда как мне записать общий вид? Что должно быть здесь вместо вопросов?
$u=F(x-t)+G(x+t)+H(x)+???$
Не нашёл пока что литературу с кратными характеристиками. Если не трудно, вы можете дать ссылку на них или объяснить вкратце?

[Red_Herring]

KostblLb в сообщении #1064971 писал(а):

Тогда как мне записать общий вид? Что должно быть здесь вместо вопросов?

Это квазилинейное уравнение. Т.е. оно линейным не является и потому решение в виде суммы простых волн не представляется. Тем более, в виде неправильных !!! Ведь ни $F(x-t)$, ни $G(x+t)$ ничего общего с уравнением не имеют.

[KostblLb]

нашел в сети решение уравнения $w_{xx}=w^2: w=6(c+x)^-2$. осталось придумать, как засунуть туда еще одну константу, и тогда все будет готово.

[Red_Herring]

А решить вместо шастанья по интернет-помойкам слабо? Чему Вас в курсе ОДУ учили?