2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 01:40 


03/09/11
275
Если $A$ и $B$ -- квадратные матрицы одного порядка.

Правда ли, что ранги матриц $AB$ и $BA$ совпадают?

Понятно, что далеко не для всех матриц $AB=BA$. Даже в общем случае элементы произведения не совпадают.

Можно попробовать через миноры.

$\det(A\cdot B)=\det{A}\cdot\det{B}=\det(B\cdot A)$

Если ни один из определителей $A$ или $B$ не равен нулю, то все автоматически ранг равен порядку матрицы $A$.

Если один из определителей $A$ или $B$ равен нулю, то нужно смотреть миноры на порядок меньше. Но тут уже сложнее. Как тут быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 01:50 


07/04/15
244
Определитель какая-то слишком сложная вещь. Подумайте, если обе матрицы не полного ранга, то какие (относительно друга) вектора у них могут быть в ядре, а потом подумайте про проекторы ну и получится пример. Как-то криво я сказал, в общем думайте про проекторы :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 02:09 


03/09/11
275
2old в сообщении #1064220 писал(а):
Определитель какая-то слишком сложная вещь. Подумайте, если обе матрицы не полного ранга, то какие (относительно друга) вектора у них могут быть в ядре, а потом подумайте про проекторы ну и получится пример. Как-то криво я сказал, в общем думайте про проекторы :)

Спасибо. А если проекторы еще не проходили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 02:16 


07/04/15
244
samuil
Можете выписать для двухмерного пространства матрицу, которая из вектора $(x,y)$ делала вектор $(0,y)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 02:21 


03/09/11
275
$$\begin{pmatrix}
 y&-x   \\
 0& 1  \\ 
\end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 02:25 


07/04/15
244
samuil
В общем как я спросил, так вы и ответили)). Ну а про матрицу

$$
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 
0 & 1
\end{pmatrix}
$$

что скажете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 02:26 


03/09/11
275
2old в сообщении #1064244 писал(а):
samuil
В общем как я спросил, так вы и ответили)). Ну а про матрицу

$$
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 
0 & 1
\end{pmatrix}
$$

что скажете?


Тоже сгодится. Ранг ее 1

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 02:36 


07/04/15
244
samuil
Ну вот она подойдет для всех $(x,y)$, а у вас вышло каждому вектору своя матрица. Теперь запишите проектор на ось $Ox$ и проверьте ваше утверждение на этих двух матрицах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение15.12.2023, 23:19 


03/09/11
275
2old в сообщении #1064248 писал(а):
Ну вот она подойдет для всех $(x,y)$, а у вас вышло каждому вектору своя матрица. Теперь запишите проектор на ось $Ox$ и проверьте ваше утверждение на этих двух матрицах.

Пока что не удалось разобраться с этим вопросом :mrgreen: Но спасибо за идею

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение17.12.2023, 08:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6874
Идею насчёт проекторов я не понял. У меня получается, что они коммутируют и их произведение - нулевая матрица. То есть, это не контрпример. Вот контрпример: $A=(1,-2)'$ , $B=(8,4)$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение17.12.2023, 09:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2215
МО
samuil в сообщении #1622528 писал(а):
Пока что не удалось разобраться с этим вопросом

Возьмите матрицу $A=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0& 1 \\\end{pmatrix}$, подберите вторую матрицу $B$, чтобы произведение $AB$ равнялось нулю, а $BA$ нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group