Совпадают ли ранги данных матриц?

[samuil]

Если $A$ и $B$ -- квадратные матрицы одного порядка.

Правда ли, что ранги матриц $AB$ и $BA$ совпадают?

Понятно, что далеко не для всех матриц $AB=BA$. Даже в общем случае элементы произведения не совпадают.

Можно попробовать через миноры.

$\det(A\cdot B)=\det{A}\cdot\det{B}=\det(B\cdot A)$

Если ни один из определителей $A$ или $B$ не равен нулю, то все автоматически ранг равен порядку матрицы $A$.

Если один из определителей $A$ или $B$ равен нулю, то нужно смотреть миноры на порядок меньше. Но тут уже сложнее. Как тут быть?

[2old]

Определитель какая-то слишком сложная вещь. Подумайте, если обе матрицы не полного ранга, то какие (относительно друга) вектора у них могут быть в ядре, а потом подумайте про проекторы ну и получится пример. Как-то криво я сказал, в общем думайте про проекторы :)

[samuil]

2old в сообщении #1064220 писал(а):

Определитель какая-то слишком сложная вещь. Подумайте, если обе матрицы не полного ранга, то какие (относительно друга) вектора у них могут быть в ядре, а потом подумайте про проекторы ну и получится пример. Как-то криво я сказал, в общем думайте про проекторы :)

Спасибо. А если проекторы еще не проходили?

[2old]

samuil
Можете выписать для двухмерного пространства матрицу, которая из вектора $(x,y)$ делала вектор $(0,y)$?

[samuil]

$$\begin{pmatrix} y&-x \\ 0& 1 \\ \end{pmatrix}$$

[2old]

samuil
В общем как я спросил, так вы и ответили)). Ну а про матрицу

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

что скажете?

[samuil]

2old в сообщении #1064244 писал(а):

samuil
В общем как я спросил, так вы и ответили)). Ну а про матрицу

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

что скажете?

Тоже сгодится. Ранг ее 1

[2old]

samuil
Ну вот она подойдет для всех $(x,y)$, а у вас вышло каждому вектору своя матрица. Теперь запишите проектор на ось $Ox$ и проверьте ваше утверждение на этих двух матрицах.

[samuil]

2old в сообщении #1064248 писал(а):

Ну вот она подойдет для всех $(x,y)$, а у вас вышло каждому вектору своя матрица. Теперь запишите проектор на ось $Ox$ и проверьте ваше утверждение на этих двух матрицах.

Пока что не удалось разобраться с этим вопросом Но спасибо за идею

[мат-ламер]

Идею насчёт проекторов я не понял. У меня получается, что они коммутируют и их произведение - нулевая матрица. То есть, это не контрпример. Вот контрпример: $A=(1,-2)'$ , $B=(8,4)$ .

[пианист]

samuil в сообщении #1622528 писал(а):

Пока что не удалось разобраться с этим вопросом

Возьмите матрицу $A=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0& 1 \\\end{pmatrix}$, подберите вторую матрицу $B$, чтобы произведение $AB$ равнялось нулю, а $BA$ нет.

[cxzbsdhwert]

2old в сообщении #1064220 писал(а):

Определитель какая-то слишком сложная вещь. Подумайте, если обе матрицы не полного ранга, то какие (относительно друга) вектора у них могут быть в ядре, а потом подумайте про проекторы ну и получится пример. Как-то криво я сказал, в общем думайте про проекторы :)

На лекциях которые слушал я тоже пока понятия ядра не было (правда лекции уже и закончились), но определитель, а точнее его свойство мультипликативности играет ключевую роль в понимании и доказательстве задачи:

1. Определитель как функция ранга матрицы порядка $n$ не инъективен — он отображет $n-1$ рангов в "ноль" и только один ранг в "не ноль".
2. Исходя из п.1 ошибочно полагать две матрицы порядка $n$ с нулевым определителем одинакового ранга.
3. Верно однако полагать имеющими одинаковый ранг две матрицы порядка $n$ с ненулевым определителем
4. По свойству мультипликативности $\det AB = \det A \det B$. Это равенство не утверждает что для произведения в обратном порядке будет тоже значение, но это несложно следует из коммутативности произведения определителей как чисел: $\det BA = \det B \det A = \det A \det B = \det AB$
5. Значит значение определителя не зависит от расположения множителей.
6. Из п.3 и п.5 следует ключевое наблюдение: если ненулевой определитель однозначно определяет ранг произведения, и, в том числе ненулевой определитель не меняется при перестановке множителей, то не может быть таких матриц что их произведение в одном порядке невырождено, а в другом вырождено.
7. Значит, если произведение и может давать разный ранг, то только будучи вырожденным, то есть меняться если и может то только ранг $K<n$ на ранг $k<n$.
8. На основании п.7, ограничиваясь рассмотрением матриц порядка $2$, остаётся рассмотреть ранг $1$.
Но меняться ему по п.7 не на что кроме как на ранг 0.
9. Приходим к паре матриц вида:

$$\begin{pmatrix} 1& -k& \\ 1& -k& \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a& &b \\ c& &d \end{pmatrix}, \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k$$

Условие равенства отношений означает линейную зависимость между строками, то есть вырожденность правой матрицы. Произведение матриц указанного вида в одном порядке имеет ранг ноль, а в другую ранг один.