Собственные вектора

[Geen]

Вероятно я просто забыл соответствующую тему (а может и не знал). Прошу подсказать учебник и/или теоремы.
Есть (действительная) матрица $A$ размера $m\times n$. Интересует связь собственных чисел и собственных векторов матриц $AA'$ и $A'A$.

[ewert]

Geen в сообщении #1064211 писал(а):

Интересует связь собственных чисел и собственных векторов матриц $AA'$ и $A'A$.

Собственные числа одинаковы (и неотрицательны), собственные же векторы -- "биортогональны". Первое достаточно нетривиально и следует, в принципе, из второго.

[Geen]

ewert в сообщении #1064215 писал(а):

Geen в сообщении #1064211 писал(а):

Интересует связь собственных чисел и собственных векторов матриц $AA'$ и $A'A$.

Собственные числа одинаковы (и неотрицательны), собственные же векторы -- "биортогональны". Первое достаточно нетривиально и следует, в принципе, из второго.

Что-то подобное я и предполагал, но хотелось бы почитать доказательства. Не могли бы Вы указать путь?

[ewert]

Не мог бы. Это достаточно долгая история. Первое, что приходит в голову -- это книжка Воеводина и Кузнецова "Матрицы и вычисления". Где-то вокруг "сингулярных чисел". Это, правда, не учебник, а справочник, содержащий лишь сводку фактов; однако расположены они там настолько продуманно, что каждый следующий вытекает из предыдущих практически на автомате. В этой теме, во всяком случае, кажется, так.

[Geen]

Спасибо, попробую.

[2old]

Geen
Первое можно показать кажется вообще для любых $A,B$ матриц. Но у вас здесь проще:

$$A'Ax=\lambda x$$

$$ AA'(Ax)=\lambda (Ax) $$

[Red_Herring]

Только ненулевые с.з. совпадают (с учётом кратностей). В кратности с.з. = 0 будет разница (при неквадратной матрице). При этом же собственные вектора имеют разные размерности.

[Geen]

2old в сообщении #1064227 писал(а):

Но у вас здесь проще

Да, действительно. Большое спасибо.

-- 19.10.2015, 11:15 --

Red_Herring в сообщении #1064261 писал(а):

При этом же собственные вектора имеют разные размерности.

Да, они, как раз, через $A$ связаны.