2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 01:28 
Аватара пользователя
Вероятно я просто забыл соответствующую тему (а может и не знал). Прошу подсказать учебник и/или теоремы.
Есть (действительная) матрица $A$ размера $m\times n$. Интересует связь собственных чисел и собственных векторов матриц $AA'$ и $A'A$.

 
 
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 01:40 
Geen в сообщении #1064211 писал(а):
Интересует связь собственных чисел и собственных векторов матриц $AA'$ и $A'A$.

Собственные числа одинаковы (и неотрицательны), собственные же векторы -- "биортогональны". Первое достаточно нетривиально и следует, в принципе, из второго.

 
 
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 01:49 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1064215 писал(а):
Geen в сообщении #1064211 писал(а):
Интересует связь собственных чисел и собственных векторов матриц $AA'$ и $A'A$.

Собственные числа одинаковы (и неотрицательны), собственные же векторы -- "биортогональны". Первое достаточно нетривиально и следует, в принципе, из второго.

Что-то подобное я и предполагал, но хотелось бы почитать доказательства. Не могли бы Вы указать путь? :-)

 
 
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 01:57 
Не мог бы. Это достаточно долгая история. Первое, что приходит в голову -- это книжка Воеводина и Кузнецова "Матрицы и вычисления". Где-то вокруг "сингулярных чисел". Это, правда, не учебник, а справочник, содержащий лишь сводку фактов; однако расположены они там настолько продуманно, что каждый следующий вытекает из предыдущих практически на автомате. В этой теме, во всяком случае, кажется, так.

 
 
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 01:59 
Аватара пользователя
Спасибо, попробую.

 
 
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 01:59 
Geen
Первое можно показать кажется вообще для любых $A,B$ матриц. Но у вас здесь проще:
$$A'Ax=\lambda x$$
$$ AA'(Ax)=\lambda (Ax) $$

 
 
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 03:27 
Аватара пользователя
Только ненулевые с.з. совпадают (с учётом кратностей). В кратности с.з. = 0 будет разница (при неквадратной матрице). При этом же собственные вектора имеют разные размерности.

 
 
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 11:10 
Аватара пользователя
2old в сообщении #1064227 писал(а):
Но у вас здесь проще

Да, действительно. Большое спасибо.

-- 19.10.2015, 11:15 --

Red_Herring в сообщении #1064261 писал(а):
При этом же собственные вектора имеют разные размерности.

Да, они, как раз, через $A$ связаны.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group