Об итерационном прямом методе

[Альберт120446]

Случайно "открыл" итерационный стационарный метод решения СЛАУ, дающий на итерации с номером, равным размерности, точное решение. Хотя перерыл насколько мог историю вопроса, не уверен в его новизне, так как по образованию не являюсь математиком, перед апробацией публикации хочу у спецов спросить, обладает ли новизной такой метод. В случае отрицательного ответа, просьба указать источники

[AD]

Ответ я не дам, ибо тоже не разбираюсь, но интересно.
Но на всякий умный вопрос есть глупые правильные ответы.
Конечно, хочется подробностей. Вот почему.

Свойство давать точное решение через известное количество итераций, конечно, занятно, но на практике ведь будут оцениваться совсем другие показатели.

Прежде всего, упомянутое свойство доказывать умеете? А почему вы, собственно, называете свой метод итерационным, если он, исходя из этого свойства, точный?

Могу указать метод, дающий за одну итерацию точное решение. Метод Гаусса называется

Во-вторых, а насколько трудоемка одна итерация? По числу операций и по памяти? Сюда замечание про метод Гаусса тоже применимо: если время проделывания одной итерации не есть $O(n^2)$, то такой метод вряд ли всем понравится.

Ну и т. п.

[Альберт120446]

Спасибо за внимание. Спрашиваю только только об одной стороне метода - новизне. Доказательство есть. Итерационным называю по способу получения ответа - пошаговое или итерационное решение разностного уравнения, на последнем шаге получается точное решение, как у Гаусса (смайлик не ставлю)

[PAV]

На вопрос о том, является ли метод новым, обычно невозможно дать ответ, если не предъявлен сам метод.

[AD]

То есть я хотел сказать, что под формулировку "метод, дающий на n-м шаге точное решение" подходят практически все точные методы. А в чем заключается итерационность вы формально не говорите (почему тот же метод Гаусса не итерационный?), поэтому данных у нас очень мало.

[Альберт120446]

Следуя неявной рекомендации строгого PAVa, излагаю суть.метода.

Система СЛАУ порядка n (все обозначения обычные)
Ах = b (1)
представляется в форме разностного уравнения (РУ) для итерационного решения
x(n+1) = (A+I)x(n) - b
Последняя преобразуется к РУ
x(n+1) =Nx(n) - c (2)
с той же неподвижной точкой x, где матрица N - нильпотентна.
Итерация (2) с прозвольного вектора x(0) на шаге с номером n дает решение (1). Таким образом, этот итерационный метод является прямым. В математических книгах (могу указать) утверждается обратное.

У меня вопрос не о том, "хорош" ли этот метод или нет, а нов ли он.

[Brukvalub]

Альберт120446 писал(а):

с той же неподвижной точкой x, где матрица N - нильпотентна.

А как же быть с несовместными или недоопределенными системами (в которых ранг матрицы меньше числа неизвестных)? Такие системы методу "не по зубам"? Для систем, имеющих единственное решение, есть метод Крамера.

[Альберт120446]

Еще раз формулирую вопрос.
Методы решения СЛАУ принято разделять на прямые и итерационные. У меня "вышел" метод, как симбиоз перечисленных, вот и спрашиваю, он новый или нет.Так как я не являюсь чистым математиком, то пришел сюда в надежде услышать ответ типа - нет или да, если нет, то просьба указать первоисточник

[нг]

переношу в «Помогите решить/разобраться.»

[незваный гость]

Альберт120446 писал(а):

Методы решения СЛАУ принято разделять на прямые и итерационные.

Это, конечно, верно, но что такое итерационный метод? Это ведь не просто метод, в котором повторяется некоторая последовательность операций. Иначе бы метод Гаусса не был бы прямым, не так ли?

[TOTAL]

Альберт120446 писал(а):

Последняя преобразуется к РУ
x(n+1) =Nx(n) - c (2)
с той же неподвижной точкой x, где матрица N - нильпотентна.

Ваш метод, безусловно, прямой.
Какова цена этому методу, во многом зависит от трудоемкости преобразования к виду (2).
Пока нет ни малейших признаков, что этот метод лучше метода Гаусса.

[Certain]

Например метод сопряжённых градиентов при отсутствии ошибок округления даёт решение СЛАУ не более чем за $n$ итераций, где $n$ - размерность СЛАУ. При этом он используется как итерационный, хотя и является прямым.

[Альберт120446]

Для Незванного гостя.
Итерационный, это метод, в котором именно повторяется последовательность операций, а точнее две - умножение матрицы на вектор и сложение, и все, других нет, разве что подготовительные, речь идет об одношаговом стационарном методе

Для TOTAL/
Речь не идет о том, лучше он или нет. Я скажу больше, как вычислительный инструмент он хуже и "намного", я только спрашиваю - кто-нибудь о таком методе слышал что-нибудь, другими словами, могу ли я претендовать на его авторство. Согласитесь, что такой вопрос волнует любого исследователя, тем более, что по профессии "копаю не в математическом лесу".
Конечно предвижу вопрос, а кому нужен "плохой" метод?
Отвечаю, в "чистой" математике он проигрывает всем, однако его ценность в другом - он является теоретической основой построения алгоритмов управления с конечным временем установления, то есть базой для проектирования регуляторов с теоретически максимальным быстродействием. Причем это свойство обеспечивается в пространстве параметров. Существет много технических систем, где данное свойство является критическим.

Добавлено спустя 8 минут 18 секунд:

Для Certain.
Я с Вами совершенно согласен. Но метод сопряженных градиентов и подобные относятся к нестационарным, так как требуют пересчета итерационных параметров на каждой итерации. Я же говорю об итерационном методе с постоянной матрицей, она одна и та же на протяжении всего расчета, то есть метод является стационарным.

[незваный гость]

Альберт120446 писал(а):

Итерационный, это метод, в котором именно повторяется последовательность операций, а точнее две - умножение матрицы на вектор и сложение,

То есть метод Ньютона стал неитерационным, а прямым?! У Вас необычное представление о терминах.

[Альберт120446]

Для Незванного гостя.
Речь идет в контексте решения СЛАУ. Конечно есть метод Ньютона итерационый для решения нелинейного уравнения, зачем же Вы приписываете мне то, что я не говорил?