Об итерационном прямом методе

[Альберт120446]

Дополнение.
В необозримом числе книг по методам вычислений методы решения СЛАУ разделяют на прямые и итерационные. Вот некоторые формулировки из источников разных лет и авторов:
1. "Итерационные методы доставляют средство для приближенного решения системы линейных уравнений. Решение системы при помощи итерационных методов получается как предел последовательных приближений, вычисляемых некоторым единообразным процессом". Д.К.Фаддеев, В.Н.Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгебры. 1963
2. "Итерационный метод позволяет найти приближенное решение..Само приближенное решение является результатом вычислений, полученным после конечного числа итераций". А.А.Самарский. Введение в численные методы.1982.
3. "Итерационным методам, т.е. методам, в которых точное решение может быть получено в результатет бесконечного повторения единообразных (как правило, простых) действий..." В.М.Вержбицкий. Основы численных методов. 2005.
Согласно устоявшемуся положению, итерационные методы являются приближенными, то есть за конечное число итераций они не дают точного решения.
Полученные результаты это положение опровергают.

[незваный гость]

Да ничего они не опровергают. Итерационный метод — это не метод, в котором присутствует цикл. Как и было сказано в процитированных Вами книжках, это методы уточнения начального приближения, причем про которые обычно известно, что они сходятся к точному результату только как предельному значению (по крайней мере, для части входных данных, включая функции). Всё остальное называется прямым методом, независимо от присутствия циклов.

Ваши страдания по поводу классификации и наименования метода меня лично смешат. По-моему, гораздо важнее сделать что-то полезное, чем что-то первым. Но это, разумеется, дело вкуса.

[tolstopuz]

Пусть нам надо решить систему $Ax=b$, где $A=D+L+U$ - сумма диагональной, нижнетреугольной и верхнетреугольной частей. Известный метод Якоби решения СЛАУ выглядит так:

$x^{(k+1)}=D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})$

Если $D=I$, а $L+U$ нильпотентна, точное решение методом Якоби получается за конечное число шагов, и для такого класса матриц метод Якоби может считаться прямым. Это несложное, но занимательное наблюдение было сделано автором топика.

Если же еще и $L=0$, то метод начинает выглядеть как $x^{(k+1)}=b-Ux^{(k)}$ и при $x^{(0)}=0$ делает то же самое, что и обратный ход метода Гаусса.

Произвольную СЛАУ можно свести к эквивалентной СЛАУ с матрицей - суммой единичной и нильпотентной. Например, это достаточно легко делается прямым ходом метода Гаусса, который дает даже не просто нильпотентную матрицу, а верхнетреугольную.

Из вышеизложенного следует, что обычный метод Гаусса может быть изложен как двухшаговый процесс:
а) преобразование исходной матрицы к сумме единичной и нильпотентной с соответствующим преобразованием правой части ("прямой ход");
б) решение преобразованной системы "итерационным прямым методом" Якоби ("обратный ход").

Это полностью укладывается в схему автора топика, и я не уверен, что методу Гаусса надо давать новое имя.

[Альберт120446]

Свои впечатления в связи с обсуждением поставленного мною вопроса изложу как-нибудь позже, сейчас по поводу предыдущей реплики.
Прочитав и, как это не покажется кому-то странным, поняв ее, полностью соглашаюсь с мнением автора. Вопрос вот какой.
Вы представляете прямой ход как преобразование матрицы к сумме нильпотентной и единичной.
Но когда я спросил о возможности такой процедуры на форуме - Можно ли разложить матрицу (есть тема) на сумму нильпотентной и единичной, то уважаемый Brukvalub мне это делать запретил, сопроводив аргументацию обидным для моего самолюбия примером о разложении нескольких двоек на единицы, вдобавок записав их, упомянутые двойки, косяком...
Вопрос ребром, прав ли старший товарищ, запрещая то, что можно делать другим..?

[Brukvalub]

Альберт120446 писал(а):

Прочитав и, как это не покажется кому-то странным, поняв ее

Смелое заявление. Особенно в сочетании со следующим предложением:

Альберт120446 писал(а):

Вы представляете прямой ход как преобразование матрицы к сумме нильпотентной и единичной.

Да ничего Вы не поняли! Итак, читаем медленно и несколько раз (а важное слово я специально для Вашего лучшего усвоения еще и выделю черным цветом):

tolstopuz писал(а):

Если $D=I$, а $L+U$ нильпотентна, точное решение методом Якоби получается за конечное число шагов, и для такого класса матриц метод Якоби может считаться прямым. Это несложное, но занимательное наблюдение было сделано автором топика.

Наконец, глубокоуважаемый товарищ первооткрыватель, замечу, что, для начала, неплохо бы понять, что, во всякой аддитивно записываемой группе, равенство а=в+е с известными а и е однозначно определяет в=а-е. Поэтому не всякую матрицу можно представить в виде суммы единичной и нильпотентной - достаточно взять не нильпотентную матрицу и прибавить к ней единичную, тогда вычитанием из этой суммы единичной матрицы никак нильпотентную не получишь. А, для облегчения понимания этого факта, я и привел Вам пример скалярной матрицы с двойками по диагонали, про которую вы изволили изящно выразиться:

Альберт120446 писал(а):

Но когда я спросил о возможности такой процедуры на форуме - Можно ли разложить матрицу (есть тема) на сумму нильпотентной и единичной, то уважаемый Brukvalub мне это делать запретил, сопроводив аргументацию обидным для моего самолюбия примером о разложении нескольких двоек на единицы, вдобавок записав их, упомянутые двойки, косяком...

Вышеупомянутая терминология у меня почему-то ассоциируется только с описываемым в художественной литературе сленгом людей, курящих марихуану
И, наконец,

Альберт120446 писал(а):

сопроводив аргументацию обидным для моего самолюбия примером

А таблица умножения тоже до сих пор больно бьёт по Вашему самолюбию, или к ней Вы уже смогли притерпеться?

[tolstopuz]

Альберт120446 писал(а):

Вы представляете прямой ход как преобразование матрицы к сумме нильпотентной и единичной.

Преобразование исходной матрицы к другой матрице, являющейся суммой нильпотентной и единичной.

[Альберт120446]

Для Brukvalub
Какие невероятно умные люди нисходят до беседы со мною, приходится признать...и в совершестве владеют не только предметом, но методами обучения...рекомендуют читать медленно и и несколько раз... какое счастье, поди, учиться у таких препов...
Все же и отдыхать, наверное, надо, многоуважаемый
сверхсуперактивный участник, может по субботам хотя бы, глядишь, и избавились тогда от марихуанных ассоциаций...

[Brukvalub]

Альберт120446 писал(а):

Какие невероятно умные люди нисходят до беседы со мною, приходится признать...и в совершестве владеют не только предметом, но методами обучения...рекомендуют читать медленно и и несколько раз... какое счастье, поди, учиться у таких препов...

Раз уж Вы так высоко ставите мой педагогический талант, позволю себе еще немного поучаствовать в Вашем обучении. Про скалярные матрицы, которые Вы ошибочно называете "со стоящими косяком числами" , Вы можете выучить вот по этим учебникам, предназначенным для обучения студентов первого курса:
Ланкастер П. — Теория матриц
Гантмахер Ф.Р. — Теория матриц
Если же Вы будете по-прежнему испытывать какие-либо трудности с пониманием основных терминов, то смело обращайтесь, я всегда готов подставить Вам свое дружеское плечо

[Альберт120446]

Вы меня перехвалите, полагая что я, столь быстро одолев таблицу умножения, в состоянии перейти к освоению упомянутой лит-ры...может свою авторскую посоветуете, где прикупить сей кладезь знаний или только на форум пописываете...

Добавлено спустя 9 минут 45 секунд:

Для tolstopuz
На Ваше "...исходной матрицы к другой матрице..."
Правильно ли я понимаю, что исходная и другая, это не подобные матрицы?

[Brukvalub]

Нет, что Вы, учёную степень мне "за просто так" присвоили, по-приятельски, а писать я пока только здесь тренируюсь Будем считать, что Вы меня уели. (меня давно еще инструктор по вождению учил уступать дорогу сами знаете кому).

[Альберт120446]

Надо полагать, ВАКовская степень..? Здорова, оказывается мы учились у одного и того же инструктора, тоже следую этому правилу...

[tolstopuz]

Альберт120446 писал(а):

На Ваше "...исходной матрицы к другой матрице..."
Правильно ли я понимаю, что исходная и другая, это не подобные матрицы?

Да, не подобные. Как вам уже показывали, матрица $[2]$ не может быть представлена в виде суммы единичной и нильпотентной матриц, а так как подобие для матриц 1x1 совпадает с тождеством, эта матрица даже не подобна сумме единичной и нильпотентной матриц.
Элементарные операции над строками, совершаемые при прямом ходе, делают матрицу левых частей не подобной исходной. Но так как те же операции делаются и над правой частью, система после преобразования остается эквивалентной исходной.

[Альберт120446]

Спасибо, так бы все отвечали, горя бы не мыкал...у Вас бы поучился, с Вашего позволения...

[нг]

Альберт120446,
Brukvalub
ваша ирония, ваш сарказм понятны, но не уместны. Обсуждение «степеней» и вовсе оффтоп. Пожалуйста, вернитесь в рамки принятого на форуме поведения. Право ж, некрасиво.

Добавлено спустя 5 минут 16 секунд:

Альберт120446 писал(а):

Но когда я спросил о возможности такой процедуры на форуме - Можно ли разложить матрицу (есть тема) на сумму нильпотентной и единичной, то уважаемый Brukvalub мне это делать запретил, сопроводив аргументацию обидным для моего самолюбия примером о разложении нескольких двоек на единицы

Brukvalub привёл конкретный контр-пример, когда Ваше утверждение неверно, конкретно — диагональная матрица с 2 на диагонали. Что Вы нашли обидного для самолюбия в простоте контр-примера не очень понятно.

[Альберт120446]

Господа участники, модераторы и супермодератоы! Я понимаю, что мат форум - удел очень серьезных людей (без иронии). Также полагаю, что в отличие от мат журналов, все же допускаются какие-то вольности, не нарушающие правила, но вносящие оживление.
Меня - гостя ( я не математик), и стеной называли, и в первый класс отправляли, и учебники совали, допускаю, может и заслужил...В ответ старался отвечать адекватно...Но неужели думаете, что фразу:
"...уважаемый Brukvalub мне это делать запретил, сопроводив аргументацию обидным для моего самолюбия примером о разложении нескольких двоек на единицы..." я писал серьезно.
У меня в практике был случай. Студент, на вопрос - что же это у Вас косинус фи стал больше единицы, ответил буквально - а что Вы хотите, в войну до двух доходил...Пришлось ответить типа, а где у нас танки на улице...
Это в качестве отступления. Внушение осознал, приму к себе меры, постараюсь быть сдержаннее, чтобы хотя бы внешне походить на настоящего Математика...