2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверка автоморфизма
Сообщение30.09.2015, 22:46 


03/06/12
2067
Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста решение.
Задача. Найти группу автоморфизмов $S_3.$
Решение. Введу обозначения $a_{1}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 3
\end{array}\right),$ $a_{2}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2
\end{array}\right),$ $a_{3}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3
\end{array}\right),$ $a_{4}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1
\end{array}\right),$ $a_{5}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
3 & 1 & 2
\end{array}\right),$ $a_{6}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{array}\right).$ Тогда квадрат Кэли будет таким:
$$\begin{matrix}  & \phantom{a_1} \vline\ & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6} & \text{левый}\\\hline
& a_{1} \vline\ & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6}\\
& a_{2}\vline\ & a_{2} & a_{1} & a_{5} & a_{6} & a_{3} & a_{4}\\
& a_{3}\vline\ & a_{3} & a_{4} & a_{1} & a_{2} & a_{6} & a_{5}\\
& a_{4}\vline\ & a_{4} & a_{3} & a_{6} & a_{5} & a_{1} & a_{2}\\
& a_{5}\vline\ & a_{5} & a_{6} & a_{2} & a_{1} & a_{4} & a_{3}\\
& a_{6}\vline\ & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1}\\
\text{правый}
\end{matrix}$$
умножаю слева направо. В первой строке стоит левый множитель, в первом столбце - правый. В этой таблице обращает на себя внимание то, что в группе $S_3$ всего 2 элемента третьего порядка. Поэтому, если автоморфизм и существует, то эти элементы обязаны отображаться или на себя или какой-то один на другой ( в предположении). Итак, допустим, существует такой автоморфизм $\varphi$, что $a_4\mapsto a_5$ и $a_3\mapsto a_6.$ Это повлечет за собой $(a_4)^2\mapsto (a_5)^2,$ или $a_5\mapsto a_4$. Далее, $a_4\cdot a_3\mapsto a_5\cdot a_6,$ $a_3\cdot a_4\mapsto a_6\cdot a_5,$ или $a_2\mapsto a_2,$ $a_6\mapsto a_3.$ Итак, предполагаемый автоморфизм задается подстановкой: $b_{2}=\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6}\\
a_{1} & a_{2} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3}
\end{pmatrix}.$ И вот тут наступает момент, по поводу которого я и хочу посоветоваться. Чтобы проверить, является ли $b_2$ автоморфизмом, я не придумал ничего лучшего, как составить еще 2 таблицы. Одну из них я получил просто применяя к исходному квадрату Кэли подстановку $b_2$, а вторую я получил, применяя к тому же исходному квадрату к множителям подстановку $b_2$, то есть написал квадрат
$$\begin{matrix}  & \phantom{a_1} \vline\ & a_{1} & a_{2} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & \text{левый}\\\hline
& a_{1}\vline\ & & & & & &\\
& a_{2}\vline\ & & & & & &\\
& a_{6}\vline\ & & & & & &\\
& a_{5}\vline\ & & & & & &\\
& a_{4}\vline\ & & & & & &\\
& a_{3}\vline\ & & & & & &\\
\text{правый}
\end{matrix}$$
а затем подсчитал произведения в этом квадрате с помощью первого квадрата Кэли. Как и следовало ожидать, эти квадраты совпали. А можно ли было убедиться, что $\varphi$ - автоморфизм как-нибудь покороче, не сравнивая квадраты? Хотя тема "Определяющие соотношения" еще впереди. А что еще можно придумать? Да, наверное, ничего не придумаешь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение30.09.2015, 23:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А про внутренние автоморфизмы знаете? Для начала их легко найти (хотя бы тут).

P. S. И про цикловую запись (запись в виде произведений непересекающихся простых циклов; цикл $a_1\mapsto a_2,\ldots,a_{n-1}\mapsto a_n,a_n\mapsto a_1$ пишется как список $(a_1\ldots a_n)$, напр., $(), (23), (13247)$). Она нехило упрощает писанину и всё ещё достаточно прозрачна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение01.10.2015, 12:41 


03/06/12
2067
arseniiv в сообщении #1058002 писал(а):
А про внутренние автоморфизмы знаете? Для начала их легко найти (хотя бы тут).

Я нашел 6 автоморфизмов, а назвал-то только один, это что, еще не все?
arseniiv в сообщении #1058002 писал(а):
P. S. И про цикловую запись (запись в виде произведений непересекающихся простых циклов; цикл $a_1\mapsto a_2,\ldots,a_{n-1}\mapsto a_n,a_n\mapsto a_1$ пишется как список $(a_1\ldots a_n)$, напр., $(), (23), (13247)$). Она нехило упрощает писанину и всё ещё достаточно прозрачна.

Я про это знаю, просто я сейчас вникаю внутрь, а такая запись нагляднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение01.10.2015, 12:54 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sinoid в сообщении #1058094 писал(а):
Я нашел 6 автоморфизмов, а назвал-то только один, это что, еще не все?
Должны быть все. Просто если вы знаете, что автоморфизм внутренний, и какому элементу он соответствует, доказывать нечего. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение01.10.2015, 13:11 


03/06/12
2067
arseniiv в сообщении #1058095 писал(а):
Просто если вы знаете, что автоморфизм внутренний

Я это не знаю, я искал просто автоморфизмы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение01.10.2015, 13:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
В данном случае все они также и внутренние, можете проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение01.10.2015, 19:53 


03/06/12
2067
arseniiv в сообщении #1058105 писал(а):
можете проверить.

Это что, фиксирую какую-нибудь подстановку $g$ из найденных подстановок $b$ и для каждой из шести этих подстановок $y$ убеждаюсь, что решение $x$ уравнения $gxg^{-1}=y$ есть одна из найденных подстановок?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение01.10.2015, 21:53 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну, как-то так, хотя:
(1) почему не подставлять $x$, а не $y$ (хотя всё едино, просто $a$ заменится на $a^{-1}$);
(2) можно не проверять все шесть: единичная коммутирует с любой и переходит в себя автоматически; одна-две в зависимости от $a$ тоже будут коммутировать с $a$ и переходить в себя; порядок элемента сохраняется (вы и сами выше этим пользовались), и потому, когда остаётся непроверенным один элемент данного порядка, можно сразу записать ответ.
У меня ощущение, что я какие-то не очень полезные советы даю. Раз уж у вас пока не проходились внутренние изоморфизмы… Потом, в общем случае всё равно надо искать остальные, вдруг есть — тут я тоже ничего полезного в данное время не скажу. Может, я вообще что-то важное забыл упомянуть. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение02.10.2015, 00:30 


03/06/12
2067
arseniiv в сообщении #1058247 писал(а):
Потом, в общем случае всё равно надо искать остальные

Ну так я же все возможные варианты и перебрал вручную: при каждом варианте отображения $a_4$ и $a_5$ я в качестве второго предположения закладывал всевозможные варианты отображения элементов второго порядка друг на друга, в частности, и на себя, так что вот это
arseniiv в сообщении #1058247 писал(а):
вдруг есть

самим способом решения исключается.
А вообще вот в этом
arseniiv в сообщении #1058095 писал(а):
Просто если вы знаете, что автоморфизм внутренний, и какому элементу он соответствует, доказывать нечего

недостаток же в том, что оно применимо только в частных случаях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение02.10.2015, 01:02 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sinoid в сообщении #1058297 писал(а):
Ну так я же все возможные варианты и перебрал вручную
Да-да, но потом же вам надо было побыстрее проверить, всё ли в порядке с этими отображениями. Вот как раз найдя, что они представимы как $x\mapsto axa^{-1}$, можно автоматически получить ответ. Но, может, я зря это предлагал.

Sinoid в сообщении #1058297 писал(а):
А вообще вот в этом <…> недостаток же в том, что оно применимо только в частных случаях?
Да, ведь не все автоморфизмы — внутренние. (Кстати, простой пример — циклическая группа. Из-за абелевости внутренний изоморфизм всего один, а вообще изоморфизм есть ещё и $a\mapsto -a$, который как раз из-за той же абелевости не только антиизоморфизм, но и изоморфизм. Если в циклической группе 1-2 элемента, правда, этот автоморфизм совпадает с первым, тождественным.)

-- Пт окт 02, 2015 03:06:04 --

(И, конечно, там ещё всякие другие бывают.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение02.10.2015, 17:41 


03/06/12
2067
arseniiv в сообщении #1058311 писал(а):
Но, может, я зря это предлагал.

Ничего не зря, вы меня натолкнули еще на один способ решения. Лишнего не будет.
А кстати, я давно еще (где-то в мае) рассуждал сам с собой про внутренние автоморфизмы. Вот слово "внутренний" оно же обозначает, что отображение производится за счет внутренних средств. Так почему бы тогда к внутренним автоморфизмам не отнести, скажем, отображение $x\mapsto xg$? Или это словосочетание введено специально для обозначения конкретного вида автоморфизмов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение02.10.2015, 18:44 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sinoid в сообщении #1058498 писал(а):
Или это словосочетание введено специально для обозначения конкретного вида автоморфизмов?
Угу. Но те $x\mapsto xg$, которые являются автоморфизмами, если хотите, называйте как угодно. Если бы общепринятых терминов всегда хватало, в статьях не делали бы введение со своими определениями. :-)

Кстати, кое-какое имя у $x\mapsto xg$ есть — это правое действие группы на себе (элементом $g$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение03.10.2015, 13:46 


03/06/12
2067
И последний вопрос: как вы узнали, что все автоморфизмы внутренние? Неужели умножали подстановки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение04.10.2015, 00:04 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Я подсмотрел кое-где. :-) Если браться за ум, повторил бы, наверное, ваше рассуждение о порядках элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение05.10.2015, 21:18 


03/06/12
2067
Огромное спасибо за уделенное внимание.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group