2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Проверка автоморфизма
Сообщение30.09.2015, 22:46 
Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста решение.
Задача. Найти группу автоморфизмов $S_3.$
Решение. Введу обозначения $a_{1}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 3
\end{array}\right),$ $a_{2}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2
\end{array}\right),$ $a_{3}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3
\end{array}\right),$ $a_{4}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1
\end{array}\right),$ $a_{5}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
3 & 1 & 2
\end{array}\right),$ $a_{6}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{array}\right).$ Тогда квадрат Кэли будет таким:
$$\begin{matrix}  & \phantom{a_1} \vline\ & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6} & \text{левый}\\\hline
& a_{1} \vline\ & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6}\\
& a_{2}\vline\ & a_{2} & a_{1} & a_{5} & a_{6} & a_{3} & a_{4}\\
& a_{3}\vline\ & a_{3} & a_{4} & a_{1} & a_{2} & a_{6} & a_{5}\\
& a_{4}\vline\ & a_{4} & a_{3} & a_{6} & a_{5} & a_{1} & a_{2}\\
& a_{5}\vline\ & a_{5} & a_{6} & a_{2} & a_{1} & a_{4} & a_{3}\\
& a_{6}\vline\ & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1}\\
\text{правый}
\end{matrix}$$
умножаю слева направо. В первой строке стоит левый множитель, в первом столбце - правый. В этой таблице обращает на себя внимание то, что в группе $S_3$ всего 2 элемента третьего порядка. Поэтому, если автоморфизм и существует, то эти элементы обязаны отображаться или на себя или какой-то один на другой ( в предположении). Итак, допустим, существует такой автоморфизм $\varphi$, что $a_4\mapsto a_5$ и $a_3\mapsto a_6.$ Это повлечет за собой $(a_4)^2\mapsto (a_5)^2,$ или $a_5\mapsto a_4$. Далее, $a_4\cdot a_3\mapsto a_5\cdot a_6,$ $a_3\cdot a_4\mapsto a_6\cdot a_5,$ или $a_2\mapsto a_2,$ $a_6\mapsto a_3.$ Итак, предполагаемый автоморфизм задается подстановкой: $b_{2}=\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} & a_{6}\\
a_{1} & a_{2} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3}
\end{pmatrix}.$ И вот тут наступает момент, по поводу которого я и хочу посоветоваться. Чтобы проверить, является ли $b_2$ автоморфизмом, я не придумал ничего лучшего, как составить еще 2 таблицы. Одну из них я получил просто применяя к исходному квадрату Кэли подстановку $b_2$, а вторую я получил, применяя к тому же исходному квадрату к множителям подстановку $b_2$, то есть написал квадрат
$$\begin{matrix}  & \phantom{a_1} \vline\ & a_{1} & a_{2} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & \text{левый}\\\hline
& a_{1}\vline\ & & & & & &\\
& a_{2}\vline\ & & & & & &\\
& a_{6}\vline\ & & & & & &\\
& a_{5}\vline\ & & & & & &\\
& a_{4}\vline\ & & & & & &\\
& a_{3}\vline\ & & & & & &\\
\text{правый}
\end{matrix}$$
а затем подсчитал произведения в этом квадрате с помощью первого квадрата Кэли. Как и следовало ожидать, эти квадраты совпали. А можно ли было убедиться, что $\varphi$ - автоморфизм как-нибудь покороче, не сравнивая квадраты? Хотя тема "Определяющие соотношения" еще впереди. А что еще можно придумать? Да, наверное, ничего не придумаешь.

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение30.09.2015, 23:21 
А про внутренние автоморфизмы знаете? Для начала их легко найти (хотя бы тут).

P. S. И про цикловую запись (запись в виде произведений непересекающихся простых циклов; цикл $a_1\mapsto a_2,\ldots,a_{n-1}\mapsto a_n,a_n\mapsto a_1$ пишется как список $(a_1\ldots a_n)$, напр., $(), (23), (13247)$). Она нехило упрощает писанину и всё ещё достаточно прозрачна.

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение01.10.2015, 12:41 
arseniiv в сообщении #1058002 писал(а):
А про внутренние автоморфизмы знаете? Для начала их легко найти (хотя бы тут).

Я нашел 6 автоморфизмов, а назвал-то только один, это что, еще не все?
arseniiv в сообщении #1058002 писал(а):
P. S. И про цикловую запись (запись в виде произведений непересекающихся простых циклов; цикл $a_1\mapsto a_2,\ldots,a_{n-1}\mapsto a_n,a_n\mapsto a_1$ пишется как список $(a_1\ldots a_n)$, напр., $(), (23), (13247)$). Она нехило упрощает писанину и всё ещё достаточно прозрачна.

Я про это знаю, просто я сейчас вникаю внутрь, а такая запись нагляднее.

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение01.10.2015, 12:54 
Sinoid в сообщении #1058094 писал(а):
Я нашел 6 автоморфизмов, а назвал-то только один, это что, еще не все?
Должны быть все. Просто если вы знаете, что автоморфизм внутренний, и какому элементу он соответствует, доказывать нечего. :-)

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение01.10.2015, 13:11 
arseniiv в сообщении #1058095 писал(а):
Просто если вы знаете, что автоморфизм внутренний

Я это не знаю, я искал просто автоморфизмы.

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение01.10.2015, 13:30 
В данном случае все они также и внутренние, можете проверить.

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение01.10.2015, 19:53 
arseniiv в сообщении #1058105 писал(а):
можете проверить.

Это что, фиксирую какую-нибудь подстановку $g$ из найденных подстановок $b$ и для каждой из шести этих подстановок $y$ убеждаюсь, что решение $x$ уравнения $gxg^{-1}=y$ есть одна из найденных подстановок?

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение01.10.2015, 21:53 
Ну, как-то так, хотя:
(1) почему не подставлять $x$, а не $y$ (хотя всё едино, просто $a$ заменится на $a^{-1}$);
(2) можно не проверять все шесть: единичная коммутирует с любой и переходит в себя автоматически; одна-две в зависимости от $a$ тоже будут коммутировать с $a$ и переходить в себя; порядок элемента сохраняется (вы и сами выше этим пользовались), и потому, когда остаётся непроверенным один элемент данного порядка, можно сразу записать ответ.
У меня ощущение, что я какие-то не очень полезные советы даю. Раз уж у вас пока не проходились внутренние изоморфизмы… Потом, в общем случае всё равно надо искать остальные, вдруг есть — тут я тоже ничего полезного в данное время не скажу. Может, я вообще что-то важное забыл упомянуть. :roll:

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение02.10.2015, 00:30 
arseniiv в сообщении #1058247 писал(а):
Потом, в общем случае всё равно надо искать остальные

Ну так я же все возможные варианты и перебрал вручную: при каждом варианте отображения $a_4$ и $a_5$ я в качестве второго предположения закладывал всевозможные варианты отображения элементов второго порядка друг на друга, в частности, и на себя, так что вот это
arseniiv в сообщении #1058247 писал(а):
вдруг есть

самим способом решения исключается.
А вообще вот в этом
arseniiv в сообщении #1058095 писал(а):
Просто если вы знаете, что автоморфизм внутренний, и какому элементу он соответствует, доказывать нечего

недостаток же в том, что оно применимо только в частных случаях?

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение02.10.2015, 01:02 
Sinoid в сообщении #1058297 писал(а):
Ну так я же все возможные варианты и перебрал вручную
Да-да, но потом же вам надо было побыстрее проверить, всё ли в порядке с этими отображениями. Вот как раз найдя, что они представимы как $x\mapsto axa^{-1}$, можно автоматически получить ответ. Но, может, я зря это предлагал.

Sinoid в сообщении #1058297 писал(а):
А вообще вот в этом <…> недостаток же в том, что оно применимо только в частных случаях?
Да, ведь не все автоморфизмы — внутренние. (Кстати, простой пример — циклическая группа. Из-за абелевости внутренний изоморфизм всего один, а вообще изоморфизм есть ещё и $a\mapsto -a$, который как раз из-за той же абелевости не только антиизоморфизм, но и изоморфизм. Если в циклической группе 1-2 элемента, правда, этот автоморфизм совпадает с первым, тождественным.)

-- Пт окт 02, 2015 03:06:04 --

(И, конечно, там ещё всякие другие бывают.)

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение02.10.2015, 17:41 
arseniiv в сообщении #1058311 писал(а):
Но, может, я зря это предлагал.

Ничего не зря, вы меня натолкнули еще на один способ решения. Лишнего не будет.
А кстати, я давно еще (где-то в мае) рассуждал сам с собой про внутренние автоморфизмы. Вот слово "внутренний" оно же обозначает, что отображение производится за счет внутренних средств. Так почему бы тогда к внутренним автоморфизмам не отнести, скажем, отображение $x\mapsto xg$? Или это словосочетание введено специально для обозначения конкретного вида автоморфизмов?

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение02.10.2015, 18:44 
Sinoid в сообщении #1058498 писал(а):
Или это словосочетание введено специально для обозначения конкретного вида автоморфизмов?
Угу. Но те $x\mapsto xg$, которые являются автоморфизмами, если хотите, называйте как угодно. Если бы общепринятых терминов всегда хватало, в статьях не делали бы введение со своими определениями. :-)

Кстати, кое-какое имя у $x\mapsto xg$ есть — это правое действие группы на себе (элементом $g$).

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение03.10.2015, 13:46 
И последний вопрос: как вы узнали, что все автоморфизмы внутренние? Неужели умножали подстановки?

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение04.10.2015, 00:04 
Я подсмотрел кое-где. :-) Если браться за ум, повторил бы, наверное, ваше рассуждение о порядках элементов.

 
 
 
 Re: Проверка автоморфизма
Сообщение05.10.2015, 21:18 
Огромное спасибо за уделенное внимание.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group