Разбиение натурального ряда на арифметические прогрессии

[Ktina]

Натуральный ряд разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на её разность.

Странно, но у меня контрпример довольно быстро нашёлся. Поместим в первую прогрессию все нечётные числа. Во вторую - все числа, которые делятся на 2, но не делятся на 4. В третью - все, которые делятся на 4, но не делятся на 8. И так далее. То есть в прогрессию под номером $k$ помещаются все числа, в разложении которых на множители присутствует ровно $k-1$ двоек.

Так чьи же лыжи всё-таки не едут?

[Xaositect]

Подозреваю, что под "несколько" имелось в виду конечное число.

[Ktina]

Xaositect в сообщении #1057610 писал(а):

Подозреваю, что под "несколько" имелось в виду конечное число.

Тогда перемножим все разности и получим натуральное число, которое тоже обязано состоять в одной из прогрессий. Но раз оно делится на все разности, то делится и на разность той прогрессии, в которой состоит. А это означает, что и первый член делится на разность. Причём неважно, конечны ли сами прогрессии или бесконечны.

Как-то так?

[Xaositect]

Угу.

[Ktina]

Xaositect
Спасибо!

-- 29.09.2015, 15:56 --

Минуточку! Тут ещё один момент. В каждой из прогрессий разбиения должно быть как минимум два члена, иначе разность не определена.

[Ktina]

Ktina в сообщении #1057616 писал(а):

В каждой из прогрессий разбиения должно быть как минимум два члена, иначе разность не определена.

Это тоже неверно. Среди прогрессий разбиения могут встречаться и прогрессии из одного члена, это не противоречит тому, что найдётся прогрессия, у которой первый (и не единственный) член делится на разность.

Вот только доказательство капельку длиннее будет.
Перемножим все разности и получим число $n$. Рассмотрим все натуральные, кратные $n$. Так как число прогрессий у нас конечно, два таких числа окажутся в одной прогресси. Дальше очевидно.

Как-то так?