Квадрат на графике непрерывной функции

[iancaple]

Evgenjy в сообщении #1057274 писал(а):

Рассмотрим множество $D=K\setminus A$. Оно замкнуто. Рассмотрим $D$ как топологическое пространство с индуцированной топологией. Множества $B$ и $C$ открыты в этой топологии. Если бы не существовало искомого квадрата, то множество $D$ представляло бы собой объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств, что невозможно.

Убейте не пойму, почему $D$ обязано быть связным

[grizzly]

iancaple
И мой промах здесь. Расслабился, увидев, что моё замечание как-то учтено.

Вообще квадрат не обязан появляться только посредством перехода узкого прямоугольника в широкий. Он же может возникать при переходе трапеции одного наклона в трапецию другого (изолированная точка в рассматриваемом множестве $D$), так что подобные "соображения непрерывности" могут оказаться вообще тупиковыми.

[Evgenjy]

iancaple в сообщении #1057442 писал(а):

Убейте не пойму, почему $D$ обязано быть связным

Вообще все доказательство неверно. Рассмотренные множества вовсе не обязаны быть открытыми. С фазовым пр-ом у меня не получилось.

[grizzly]

Evgenjy в сообщении #1057548 писал(а):

Рассмотренные множества вовсе не обязаны быть открытыми.

Можете привести какой-нибудь пример?

[Evgenjy]

grizzly в сообщении #1057564 писал(а):

Можете привести какой-нибудь пример?

Множество $A$, соответствующее трапециям, всегда открыто. Для множеств $B$ и $C$ возможна следующая ситуация. $f(x_1)=f(x_2)$, где $x_1$ -- локальный минимум, а $x_2$ -- локальный максимум. Тогда $(x_1;x_2)$ -- изолированная точка. Собственно из того, что $A$ открыто получается, что $B\cup C$ -- замкнуто, а из этого можно получить, что каждое из них должно быть замкнуто. Может быть это можно как-то использовать?

[grizzly]

Evgenjy в сообщении #1057575 писал(а):

Тогда $(x_1;x_2)$ -- изолированная точка.

Это Ваш пример? Как раз о такой изолированной точке я упоминал чуть выше. В введенной Вами топологии эта точка является открытым множеством.

[grizzly]

Эта задача допускает простое обобщение (скорее, сама стала упрощением известной задачи). Задачу поставил Отто Тёплиц в 1911 г. и формулируется она очень просто.

Задача. Дана простая замкнутая кривая на плоскости. Доказать, что на ней найдутся 4 точки, образующие квадрат.

Усилиями многих математиков задача к концу прошлого века была решена для случая достаточно хорошей кривой а также другие релевантные результаты. Подробности с аккуратными формулировками можно посмотреть здесь.

[grizzly]

Здесь нашлась интересная обзорная статья 2014 г., в которой по теме вписанных в кривую квадратов собрано всё сразу -- история вопроса, связанные вопросы, обобщения, последние результаты в других размерностях и пр.