Предел

[GrandCube]

Доброго времени суток. Проверьте пожалуйста правильность моих рассуждений, и если что-то не так, то прошу совета. Дано: $3^\sin^3(x)$$ -1 \sim cx^n $ при $x\to0$. Найти c и n. Считаю, что исходное условие аналогично $$\lim\limits_{x\to0}^{}$\dfrac{3^\sin^3(x)) -1}{cx^n}=1$ (Здесь прошу прощения, единица "-1" не в степени, а как в условии. Не смог в дроби в числителе отделить единицу от степени). Так вот, тогда заменяю 3^\sin^3(x)$-1 на эквивалентную( в силу x\to0) \sin^3(x)ln3$. Получаю: \lim\limits_{x\to0}^{} \dfrac{sin^3(x)ln3}{cx^n}=1Можно ли отсюда сделать вывод, что n=3(первый замечательный предел), а c=ln3? Или надо доказать, что для $\lim\limits_{x\to0}^{}\dfrac{\sin^n(x)}{x^n}=1$?

[gefest_md]

I do not know well this subject, so I look at the problem somehow formally, say so. (Replace $x^n$ for $n^x$ there in the denominator.) I proved the following (using your hints): For all $c$ there is a unique $n$ such that $3^{\sin^3 x}-1\ \sim\ cx^n$ as $x\to 0$. But I am not sure, as I said.

[provincialka]

GrandCube в сообщении #1055358 писал(а):

Или надо доказать, что для $\lim\limits_{x\to0}^{}\dfrac{\sin^n(x)}{x^n}=1$?

Это практически очевидно. Ваше рассуждение правильное. Зная, что $\sin x \sim x$ вы можете просто заменить синус на икс в своем выражении (только после того, как избавились от показательной функции!)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

GrandCube

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

В частности, каждая формула должна содержать ровно два доллара - в начале и в конце, и единичные символы-обозначения также оформляются как формулы.

\ln {x}

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.