Неупругий удар под углом

[Anna from Svetl]

На железнодорожной тележке массой $M$ жёстко закреплён вертикальный щит, повёрнутый на угол $\alpha$ от перпендикулярного рельсам положения. В щит бросают мешок с песком массой $m$ , горизонтальная составляющая начальной скорости которого равна $v_0$ и направлена вдоль рельсов. Найдите скорость тележки после того, как мешок, ударившись о щит, сполз по нему вниз и упал на тележку. Трением мешка о щит и сопротивлением движению тележки можно пренебречь. До удара тележка была неподвижна.

По идее, поскольку вдоль рельсов на систему мешок+тележка внешние силы не действуют, то в проекции на ось, направленную вдоль рельсов, импульс системы должен сохраняться, значит, если до удара он был $m\vec{v}_0$, то после удара он должен остаться таким же, т.е.

$$ m\vec{v}_0 = (M+m)\vec{v}. $$

Я правильно рассуждаю?

[Munin]

Как ни странно, да. Задача выглядит сложной, но эта сложность действовала бы, если бы надо было найти скорость сразу после удара.

[druggist]

Anna from Svetl в сообщении #1055197 писал(а):

вертикальный щит, повёрнутый на угол $\alpha$

Неужели так в условии? Если щит вертикален, то мешок не сползает, а просто падает, вроде бы?

[Anna from Svetl]

Munin, спасибо. Это задача еще есть с измененным условием, когда мешок по щиту сползает не на тележку, а на землю, но над ней я еще не думала.

druggist, именно так и есть.

[Munin]

druggist в сообщении #1055201 писал(а):

Неужели так в условии?

Очевидно, щит повёрнут вокруг вертикальной оси: расположен не поперёк рельсов, а под углом к их направлению.

Не забывайте, что мы живём в трёхмерном мире :-)

[amon]

Anna from Svetl в сообщении #1055197 писал(а):

повёрнутый на угол $\alpha$ от перпендикулярного рельсам положения.

По-моему, ось горизонтальна, но, вообще, за такое условие автору хорошо бы что-нибудь оторвать.

[Munin]

amon в сообщении #1055212 писал(а):

По-моему, ось горизонтальна

Тогда щит невертикальный. Нет, моя интерпретация последовательнее :-)

[druggist]

Anna from Svetl в сообщении #1055205 писал(а):

druggist, именно так и есть.

А чертежик к задаче приводится?

[Anna from Svetl]

druggist, приводится. Плоскость щита перпендикулярна плоскости, в которой лежат рельсы.

[druggist]

(Оффтоп)

Anna from Svetl в сообщении #1055215 писал(а):

druggist, приводится. Плоскость щита перпендикулярна плоскости, в которой лежат рельсы.

Мне просто всегда казалось, что сползать может объект(или субъект) по наклонной плоскости или уж, если по вертикальной поверхности, то капля чего-либо..., напр.:

Лишь по небу тихо
Сползла погодя
На бархат заката
Слезинка дождя...(c)

Но это уже вопрос по литературе

[levtsn]

а щит для прикола ввели?
вообще я слышал что школьные задачи составляют так чтобы в решении использовались все данные. а вот правильно ли это.

[Munin]

(Оффтоп)

druggist в сообщении #1055230 писал(а):

Мне просто всегда казалось, что сползать может объект(или субъект) по наклонной плоскости или уж, если по вертикальной поверхности, то капля чего-либо...

Поскольку формально мешок прикасается к стене, и потом не отходит от неё, то почему бы не сказать "сползает"?

levtsn в сообщении #1055231 писал(а):

а щит для прикола ввели?
вообще я слышал что школьные задачи составляют так чтобы в решении использовались все данные. а вот правильно ли это.

Как уже было пояснено, это часть задачи, а щит играет свою роль в другой части задачи.

[Anna from Svetl]

Что-то со второй частью задачи, когда мешок падает не на тележку, а на землю, не совсем ясно. Пока мешок не упал, его проекция скорости на ось, направленную вдоль рельсов, должна совпадать со скоростью тележки, так?

[Munin]

Да.

[Anna from Svetl]

А что, если рассуждать так. Раз мешок изменил направление движения, значит на него действовала сила. Единственная сила, которая могла на него подействовать (разумеется, не считая силы тяжести) --- это нормальная сила реакции щита. Тогда для изменения импульса мешка можно записать

$$ \frac{\Delta\vec{p}_1}{\Delta t} = \vec{N}. $$

В проекциях на оси координат ($X$ - вдоль рельсов, $Y$ - перпендикулярно $X$) имеем

$$ \begin{array}{l} \dfrac{\Delta p_{1x}}{\Delta t} = N_x,\\[10pt] \dfrac{\Delta p_{1y}}{\Delta t} = N_y. \end{array} $$

Пусть $\vec{u}$ --- скорость мешка после удара, она направленна вдоль щита. Тогда
уравнения выше принимают вид

$$ \begin{array}{l} \dfrac{m(u\sin\alpha-v_0)}{\Delta t} = -N\cos\alpha,\quad\quad(1)\\[10pt] \dfrac{mu\cos\alpha}{\Delta t} = N\sin\alpha\quad\quad(2). \end{array} $$

Делим уравнение (1) на уравнение (2) и получаем, что

$$ u=v_0\sin\alpha. $$

На тележку действует та же по модулю сила реакции, только направленная противоположно. Вдоль оси $Y$ ее компенсирует сила реакции рельсов, а в доль оси X других сил нет, следовательно, обозначая скорость тележки после удара $v$, в проекции на ось $X$ можно записать

$$ \dfrac{Mv}{\Delta t} = -N_x=N\cos\alpha.\quad\quad(3) $$

Делим уравнение (3) на уравнение (2) и получаем оттуда, что

$$ v=\frac{m}{M}v_0\cos^2\alpha. $$

Не знаю, насколько верно, но, по крайней мере, закон сохранения импульса в проекции на ось $X$ выполняется.