Заинтересовал вопрос о мощности множества всех последовательностей натуральных чисел. Попробую доказать, что оно континуально.
При доказательстве я буду опираться на утверждение, что если система множеств

счетна, а каждое множество из

континуально, то декартово произведение всех множеств из

континуально. Попробовал с ходу это доказать, но что-то у меня застопорилось с построением биекции. Если это утверждение неверно, просьба сказать мне, и тогда дальше можно не читать.
Для удобства я буду придерживаться того варианта терминологии, который называет счетными множествами не только равномощные

, но и конечные, потому что ниже для нас не будет никакой разницы, конечно множество или равномощно

, а все время говорить "не более чем счетное" неудобно.
Пусть

- множество всех последовательностей натуральных чисел. Рассмотрим произвольную последовательность

. Обозначим

множество всех чисел, входящих в

. Например, для

. Понятно, что

распадается на классы последовательностей, имеющих одно множество

. Понятно, что этих классов столько же, сколько различных множеств

, то есть континуум (поскольку множество всех

есть множество всех подмножеств

). Осталось выяснить, сколько последовательностей отвечает каждому

.
Рассмотрим произвольную последовательность

из данного

-класса. Каждому элементу

отвечает множество

номеров, которые он имеет в последовательности

. Например, для

- множество всех нечетных, а

- множество всех четных чисел. Таким образом, последовательности

взаимно однозначно отвечает система множеств

, равномощная

. Другими словами, последовательности

отвечает элемент декартова произведения

, где

- система всех подмножеств

, а количество членов декартова произведения равномощно

. (На самом деле в роли

могут выступать не любые подмножества

, а только попарно не пересекающиеся, т.к. на одном и том же месте в последовательности не могут стоять два элемента одновременно, но на мощности это не скажется). Множество

по построению счетно, поэтому произведение

континуально.
Таким образом, в каждом

-классе континуум последовательностей, и самих

-классов тоже континуум. Тогда

есть объединение континуальной системы континуальных множеств, то есть континуально, что и требовалось доказать.
Вопрос: есть ли ошибки?