Заинтересовал вопрос о мощности множества всех последовательностей натуральных чисел. Попробую доказать, что оно континуально.
При доказательстве я буду опираться на утверждение, что если система множеств
счетна, а каждое множество из
континуально, то декартово произведение всех множеств из
континуально. Попробовал с ходу это доказать, но что-то у меня застопорилось с построением биекции. Если это утверждение неверно, просьба сказать мне, и тогда дальше можно не читать.
Для удобства я буду придерживаться того варианта терминологии, который называет счетными множествами не только равномощные
, но и конечные, потому что ниже для нас не будет никакой разницы, конечно множество или равномощно
, а все время говорить "не более чем счетное" неудобно.
Пусть
- множество всех последовательностей натуральных чисел. Рассмотрим произвольную последовательность
. Обозначим
множество всех чисел, входящих в
. Например, для
. Понятно, что
распадается на классы последовательностей, имеющих одно множество
. Понятно, что этих классов столько же, сколько различных множеств
, то есть континуум (поскольку множество всех
есть множество всех подмножеств
). Осталось выяснить, сколько последовательностей отвечает каждому
.
Рассмотрим произвольную последовательность
из данного
-класса. Каждому элементу
отвечает множество
номеров, которые он имеет в последовательности
. Например, для
- множество всех нечетных, а
- множество всех четных чисел. Таким образом, последовательности
взаимно однозначно отвечает система множеств
, равномощная
. Другими словами, последовательности
отвечает элемент декартова произведения
, где
- система всех подмножеств
, а количество членов декартова произведения равномощно
. (На самом деле в роли
могут выступать не любые подмножества
, а только попарно не пересекающиеся, т.к. на одном и том же месте в последовательности не могут стоять два элемента одновременно, но на мощности это не скажется). Множество
по построению счетно, поэтому произведение
континуально.
Таким образом, в каждом
-классе континуум последовательностей, и самих
-классов тоже континуум. Тогда
есть объединение континуальной системы континуальных множеств, то есть континуально, что и требовалось доказать.
Вопрос: есть ли ошибки?