Число комбинаций карт

[krylovdx]

Добрый день.

Задача. При игре в покер игрок получает на руки пять карт из колоды, содержащей 52 карты. Предполагая, что все комбинации равновероятны, найдите вероятность того, что игрок получит пару

решение

$13 \cdot C^{2}_{4}$ - количество комбинаций, образующих пару
$4^3 \cdot C^{3}_{12}$ - количество комбинаций, с 3 различными картами, по значению отличающимися от пары.

Вопрос.
Почему количество комбинаций с 3 различными картами нельзя считать как произведение $C^{1}_{12} \cdot C^{1}_{11} \cdot C^{1}_{10}$?

Заранее спасибо.

Lia: название темы заменено на содержательное без согласования с автором

[iifat]

$C_{12}^3$ считает (1,2,3) и (3,2,1) одной и той же комбинацией, а $C_{12}^1C_{11}^1C_{10}^1$ — двумя разными.

[krylovdx]

iifat в сообщении #1052941 писал(а):

$C_{12}^3$ считает (1,2,3) и (3,2,1) одной и той же комбинацией, а $C_{12}^1C_{11}^1C_{10}^1$ — двумя разными.

Почему мы перемножаем $C_{12}^3$ и $13 \cdot C_{4}^2$ ?
Ведь $C_{12}^3$ и $13 \cdot C_{4}^2$ непорядочно только с собой, но не упорядоченно друг с другом..

[iifat]

$4^3$ забыли.
Проблема, собственно, не в упорядоченности, а в том, что из-за неё мы можем посчитать кую-нить тройку дважды.
В нашем случае такой опасности нет, поскольку пара в пятёрке ровно одна и пересечений нет. Если б, к примеру, мы взяли бы по ошибке $C_{50}^3$ (пара одного значения плюс три любых карты), то пятёрку из четырёх карт одного значения плюс любая пятая мы б посчитали $C_4^2=6$ раз.

[ewert]

iifat в сообщении #1052941 писал(а):

$C_{12}^3$ считает (1,2,3) и (3,2,1) одной и той же комбинацией, а $C_{12}^1C_{11}^1C_{10}^1$ — двумя разными.

Я бы сформулировал ровно то же чуть иначе: потому, что $C_{12}^1C_{11}^1C_{10}^1$ -- это не что иное как $A_{12}^3$. Ну а выбор между $A_{12}^3$ и $C_{12}^3$ уже очевиден. Это просто к вопросу о том, что иногда полезно мыслить шаблонами.

krylovdx в сообщении #1052975 писал(а):

Ведь $C_{12}^3$ и $13 \cdot C_{4}^2$ непорядочно только с собой,

Во-первых, ни то, ни другое в непристойном поведении вроде не замечались. Во-вторых, если бы и замечались, то во множественном числе но не в единственном.

Если же всё-таки попытаться угадать, что имелось в виду -- Вас, вероятно, смущает неупорядоченность внутри $C_{12}^3$ и вроде бы упорядоченность между парой и непарными. Так вот: то, что эти два числа просто перемножаются -- как раз и означает неупорядоченность, т.к. подразумевает, что мы ставим пару на вполне определённое место (скажем, на первое). А если б мы захотели учесть порядок, то нам пришлось бы дополнительно умножить это произведение на какие-то перестановки.

[krylovdx]

ewert в сообщении #1052994 писал(а):

iifat в сообщении #1052941 писал(а):

$C_{12}^3$ считает (1,2,3) и (3,2,1) одной и той же комбинацией, а $C_{12}^1C_{11}^1C_{10}^1$ — двумя разными.

Я бы сформулировал ровно то же чуть иначе: потому, что $C_{12}^1C_{11}^1C_{10}^1$ -- это не что иное как $A_{12}^3$. Ну а выбор между $A_{12}^3$ и $C_{12}^3$ уже очевиден. Это просто к вопросу о том, что иногда полезно мыслить шаблонами.

krylovdx в сообщении #1052975 писал(а):

Ведь $C_{12}^3$ и $13 \cdot C_{4}^2$ непорядочно только с собой,

Во-первых, ни то, ни другое в непристойном поведении вроде не замечались. Во-вторых, если бы и замечались, то во множественном числе но не в единственном.

Если же всё-таки попытаться угадать, что имелось в виду -- Вас, вероятно, смущает неупорядоченность внутри $C_{12}^3$ и вроде бы упорядоченность между парой и непарными. Так вот: то, что эти два числа просто перемножаются -- как раз и означает неупорядоченность, т.к. подразумевает, что мы ставим пару на вполне определённое место (скажем, на первое). А если б мы захотели учесть порядок, то нам пришлось бы дополнительно умножить это произведение на какие-то перестановки.

описался=D

Спасибо, всем большое!
Отдельно большое, Ewert! Все теперь понятно стало!