2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Восстановить целую часть радикала
Сообщение11.09.2015, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Члены последовательности $1,10,51,12801,210811,...$ обладают свойством $\left\lbrace \sqrt{a_n}\right\rbrace\approx \left\lbrace\pi\right\rbrace$. По нарастающей, $\left\lbrace\right\rbrace$ - дробная часть.
Как восстановить целую часть квадратного радикала из дробной, заданной с определенной точностью, если известно, что подкоренное значение - целое число? В иной формулировке задача решается с помощью непрерывных дробей, но результат оказывается в некотором смысле "слишком точным". Выше приведенную последовательность таким способом получить не удается, но можно получить хорошее приближение $\left\lbrace\sqrt{10191265429393}\right\rbrace\approx \left\lbrace\pi\right\rbrace$. Выложу позже, если не найдется идей попроще. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить целую часть радикала
Сообщение11.09.2015, 18:19 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
То есть, для заданного вещественного числа $\alpha$ нужно решить уравнение $\sqrt{m} - n = \alpha$ в целых числах $m,n$.
Переписывая $m = (n+\alpha)^2$, получаем, что $\alpha$ и $\alpha^2$ связаны целочисленным соотношением:
$$\alpha^2 + 2n\alpha + (n^2-m) = 0.$$
Есть множество алгоритмов для поиска таких соотношения.

Например, в PARI/GP можно воспользоваться функций lindep или, в случае степеней одного и того же числа, как в этой задаче, функцией algdep. Используя пример с $\sqrt{10191265429393}$, имеем:
Код:
? q = frac( sqrt(10191265429393) )
%1 = 0.14158999127174780972955238643553005622
? f = algdep(q,2)
%2 = x^2 + 6384752*x - 904017
? n = polcoeff(f,1)/2
%3 = 3192376
? m = n^2 - polcoeff(f,0)
%4 = 10191265429393

Как видим, число $10191265429393$ успешно восстановлено по дробной части его корня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановить целую часть радикала
Сообщение11.09.2015, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Спасибо за подробную информацию. Первая русская ссылка в Гугле по запросу PARI/GP - Ваш интерактивный курс. Хороший повод заняться программированием. Жаль только что задачу в итоге решает компьютер, хотелось самому. Она не самоцель, а скорее ключик для решения других задач. На счет $\sqrt{10191265429393}$ - там ошибка вкралась, правильно $\sqrt{313743535004}$. С $\left\lbrace\pi\right\rbrace$ совпадает минимум семь знаков, больше мне не проверить, но интересно другое - если целую часть $560128$ брать по модулю $1876252$, сохраняя дробную, то соответствующие радикалы в цепных дробях будут совпадать до $7$-го знака, а $8$-ой резко растет, и в десятичных дробях картинка, думаю, будет ухудшаться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group