Деление на 3

[Rich]

Недавно подкинули мне такую задачу.Выберем число из какого-то множества состоящего из натуральных чисел. Найти вероятность,что оно делится на 3.

Это вообще корректная задача?

[OlegCh]

Ну а почему некорректная? Например из множества четных чисел. Вероятность равна нулю.

[Rich]

Ведь общий ответ дать невозможно? И каждый случай не разобрать...

[Dan B-Yallay]

OlegCh в сообщении #1051679 писал(а):

Ну а почему некорректная? Например из множества четных чисел. Вероятность равна нулю.

6,12,18,24,... ???

[Slav-27]

Если множество конечное - то корректна.

Если бесконечное, то сперва нужно уточнить, что считать вероятностью.

Можно ввести меру на множестве подмножеств вашего множества (так, чтобы мера всего множества была $1$) и вероятностью считать меру подмножества чисел, кратных $3$. Это можно делать существенно по-разному и получать в итоге разные ответы (особенно когда и само множество и подмножество чисел, кратных $3$, бесконечны).

Например, на множестве натуральных чисел можно задать плотность подмножества $M\subset\mathbb{N}$ так: расставим числа из $M$ по порядку и обозначим $M_i$ количество чисел из $M$, не превосходящих $i$. Затем рассмотрим $\lim\limits_{i\to\+\infty}\frac{M_i}{i}$.

Если бы он всегда существовал, то всё бы хорошо. Но он может не существовать. Тем не менее можно рассматривать наибольший и наименьший предел (limit superior и limit inferior). Тогда получится соответственно то, что называется upper asymptotic density и lower asymptotic density (верхняя и нижняя асимптотическая плотность). Далее можно считать, что вероятность произвольно выбранного числа попасть в некое множество равна той или другой плотности этого самого множества.

Кажется, не существует хорошего универсального определения плотности. Вернее говоря, существует слишком много плотностей, удовлетворяющих определённым разумным аксиомам, и непонятно, как предпочесть ровно одну из них.

[Rich]

Спасибо большое за ответ!

[Mihaylo]

Rich писал(а):

Выберем число из какого-то множества состоящего из натуральных чисел.

То есть должно быть задано конечное множество A. B - подмножество множества A - числа, делящиеся на 3. Вероятность равна отношению мощности B к мощности A. Без всякого рассмотрения предела.
Если же множество A бесконечно, то тут могут получаться пределы вида $[\frac{0}{\infty}]$, $[\frac{1}{\infty}]$, $[\frac{\infty}{\infty}]$ и т.д. Последний предел - неопределенность, которую надо раскрывать.

[Skeptic]

Каждое третье натуральное число, начиная с 1, делится на 3. Вероятность,что натуральное число делится на 3, будет 1/3.

[OlegCh]

Dan B-Yallay в сообщении #1051684 писал(а):

6,12,18,24,... ???

Да, это я какую-то чушь написал, признаю. И на старуху бывает проруха

[retis]

Вообще, задача не совсем корректна. Для того, чтоб говорить о вероятности, должна быть вероятносная мера или распределение. Грубо говоря, как выбранно исходное множество и как выбирается число из множества. Ну и размер множества (если $S = \{1,2,...10\}$, то $P\{rand\_s \in S =3\} = 0,3 \ne \frac{1}{3}$).
Для множества всех натуральных чисел, случайно выбранное на промежутке $[1..N]$ будет кратным 3 с вероятностью, стремящейся к $p \to \frac{1}{3}, N \to \infty$.

[TOTAL]

Mihaylo в сообщении #1051761 писал(а):

То есть должно быть задано конечное множество A. B - подмножество множества A - числа, делящиеся на 3. Вероятность равна отношению мощности B к мощности A.

Вероятность равна отношению мощности B к мощности A, только если $B$ пустое или совпадает с $A$.