2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Деление на 3
Сообщение08.09.2015, 21:31 


09/05/12
172
Недавно подкинули мне такую задачу.Выберем число из какого-то множества состоящего из натуральных чисел. Найти вероятность,что оно делится на 3.

Это вообще корректная задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на 3
Сообщение08.09.2015, 21:38 
Аватара пользователя


28/01/14
351
Москва
Ну а почему некорректная? Например из множества четных чисел. Вероятность равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на 3
Сообщение08.09.2015, 21:41 


09/05/12
172
Ведь общий ответ дать невозможно? И каждый случай не разобрать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на 3
Сообщение08.09.2015, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
OlegCh в сообщении #1051679 писал(а):
Ну а почему некорректная? Например из множества четных чисел. Вероятность равна нулю.
6,12,18,24,... ??? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на 3
Сообщение08.09.2015, 21:49 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Если множество конечное - то корректна.

Если бесконечное, то сперва нужно уточнить, что считать вероятностью.

Можно ввести меру на множестве подмножеств вашего множества (так, чтобы мера всего множества была $1$) и вероятностью считать меру подмножества чисел, кратных $3$. Это можно делать существенно по-разному и получать в итоге разные ответы (особенно когда и само множество и подмножество чисел, кратных $3$, бесконечны).

Например, на множестве натуральных чисел можно задать плотность подмножества $M\subset\mathbb{N}$ так: расставим числа из $M$ по порядку и обозначим $M_i$ количество чисел из $M$, не превосходящих $i$. Затем рассмотрим $\lim\limits_{i\to\+\infty}\frac{M_i}{i}$.

Если бы он всегда существовал, то всё бы хорошо. Но он может не существовать. Тем не менее можно рассматривать наибольший и наименьший предел (limit superior и limit inferior). Тогда получится соответственно то, что называется upper asymptotic density и lower asymptotic density (верхняя и нижняя асимптотическая плотность). Далее можно считать, что вероятность произвольно выбранного числа попасть в некое множество равна той или другой плотности этого самого множества.

Кажется, не существует хорошего универсального определения плотности. Вернее говоря, существует слишком много плотностей, удовлетворяющих определённым разумным аксиомам, и непонятно, как предпочесть ровно одну из них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на 3
Сообщение08.09.2015, 22:20 


09/05/12
172
Спасибо большое за ответ!

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на 3
Сообщение09.09.2015, 05:59 


12/07/15
2907
г. Чехов
Rich писал(а):
Выберем число из какого-то множества состоящего из натуральных чисел.

То есть должно быть задано конечное множество A. B - подмножество множества A - числа, делящиеся на 3. Вероятность равна отношению мощности B к мощности A. Без всякого рассмотрения предела.
Если же множество A бесконечно, то тут могут получаться пределы вида $[\frac{0}{\infty}]$, $[\frac{1}{\infty}]$, $[\frac{\infty}{\infty}]$ и т.д. Последний предел - неопределенность, которую надо раскрывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на 3
Сообщение09.09.2015, 08:43 


01/12/11

1047
Каждое третье натуральное число, начиная с 1, делится на 3. Вероятность,что натуральное число делится на 3, будет 1/3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на 3
Сообщение09.09.2015, 10:45 
Аватара пользователя


28/01/14
351
Москва
Dan B-Yallay в сообщении #1051684 писал(а):
6,12,18,24,... ??? :shock:
Да, это я какую-то чушь написал, признаю. И на старуху бывает проруха :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на 3
Сообщение09.09.2015, 10:54 


08/09/15
4
Вообще, задача не совсем корректна. Для того, чтоб говорить о вероятности, должна быть вероятносная мера или распределение. Грубо говоря, как выбранно исходное множество и как выбирается число из множества. Ну и размер множества (если $S = \{1,2,...10\}$, то $P\{rand\_s \in S =3\} = 0,3 \ne \frac{1}{3}$).
Для множества всех натуральных чисел, случайно выбранное на промежутке $[1..N]$ будет кратным 3 с вероятностью, стремящейся к $p \to \frac{1}{3}, N \to \infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на 3
Сообщение09.09.2015, 10:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
Mihaylo в сообщении #1051761 писал(а):
То есть должно быть задано конечное множество A. B - подмножество множества A - числа, делящиеся на 3. Вероятность равна отношению мощности B к мощности A.

Вероятность равна отношению мощности B к мощности A, только если $B$ пустое или совпадает с $A$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group