2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Экспонента ряда Дирихле.
Сообщение05.09.2015, 01:11 


17/05/13
126
$\exp(\sum_{i=2}^{\infty} \frac{a_i}{i^s})=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{A_i}{i^s},$,где
$
A_1=1;
A_2=a_2;
A_3=a_3;
A_4=a_4+\frac{a_2^2}{2};
A_5=a_5;A_6=a_6+a_3a_2;

A_7=a_7;
A_8=a_8+{a_4}{a_2}+\frac{a_2^3}{6};
A_9=a_9+\frac{a_3^2}{2};
A_{10}=a_{10}+{a_5}{a_2};

A_{11}=a_{11};
A_{12}=a_{12}+{a_4}{a_3}+{a_6}{a_2}+{a_3}\frac{a_2^2}{2} ;
........
$

Найти $A_{i}=?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента ряда Дирихле.
Сообщение05.09.2015, 02:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
24282
Уфа
А чего тут сложного? Коэффициент перед произведением $a_{i_1}\cdots a_{i_n}$, соответствующим разложению $i = i_1\cdots i_n$, равен количеству различных перестановок $(i_1,\ldots,i_n)$, делённому на $n!$. Первое есть $n!/n_1!\cdots n_k!$, где $n_i$ — степени элементов в мультимножестве $\{i_1,\ldots,i_n\}$, т. е. целиком коэффициент равен просто $1/n_1!\cdots n_k!$.

Например, в выражении для $A_{72}$ коэффициент перед $a_2^3a_3^2$ будет $1/3!2! = 1/12$.

Теперь надо определить, что конкретно входит в сумму, но (нестрогая дизъюнкция) я не знаю теорию чисел (что достаточно близко к истине) или ничего просто выглядящего тут нет.

-- Сб сен 05, 2015 04:39:42 --

Что касается просто записи, то, если использовать мультииндексы, это получится просто и легко:$$A_n = \sum_{\substack{\nu\in N^* \\ n = \prod\nu}} \frac{a_\nu}{\lvert\nu\rvert!}.$$Здесь $N=\mathbb N\setminus\{1\}$, $N^*$ — множество кортежей любой длины (в том числе 0 и 1) из элементов $N$, $\lvert\nu\rvert$ — количество элементов в кортеже $\nu$, $a_\nu = \prod_{i=1}^{\lvert\nu\rvert} a_{\nu_i}$. Формула работает даже для $A_1$ (пустой кортеж и факториал нуля).

-- Сб сен 05, 2015 04:42:57 --

А, ну и $\prod\nu = \prod_{i=1}^{\lvert\nu\rvert} \nu_i$. Так что, если вам была случайно нужна просто понятная запись, вот она здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента ряда Дирихле.
Сообщение05.09.2015, 10:32 


17/05/13
126
arseniiv в сообщении #1050562 писал(а):
Так что, если вам была случайно нужна просто понятная запись, вот она здесь

нужна была только закономерность
но и за удобную запись спасибо, буду знать

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group