Вопрос по теории вероятностей (брак в деталях).

[Сергей Маркелов]

обнаружили брак 3 штуки из 20 при инспекции
завод провел собственную проверку и обнаружил брак 10 штук из 1000
какая вероятность, что это возможно?

переформулирую
данность - 10 штук брака из 1000
какая вероятность, что при случайной выборке 20 штук в них окажется не менее 3 бракованных?

Я рассуждаю так.

1. Предположим, что мы расположили эти 1000 штук в ряд, и первые 10 бракованные.

2. Сколькими способами можно выбрать какие-то 20 из этих 1000 ? Первую можно выбрать 1000 способами, вторую 999 способами и т.д. 20-ую можно выбрать 981 способом. Таким образом, число способов выбрать 20 составит 1000*999*998 ... *981. Но при этом каждый способ посчитан много раз (ибо можно выбрать сначала первую, потом вторую, или наоборот). Сколько же раз посчитан каждый способ? 20*19*18...*2*1. Т.е. итого (убирая разные способы) число выбрать 20 элементов из 1000 равно 1000*999*998* ... *981 / ( 20*19*18 ... *2) = 339482811302457603895512614793686020778700.

3. Сколько из этих 20-ок содержат хотя бы 3 бракованных? Для этого нужно посчитать число способов выбрать 3 элемента из 20. Оно равно 20*19*18 / (3*2*1) = 1140. Теперь для каждого из этих способов нужно выбрать оставшиеся 17 элементов из оставшихся 997 элементов. Это можно сделать 997*996*...981 / (17*16* ...*2*1) = 2329044905936808562716329842055294154. Таким образом, общее число 20-ок, которые содержат хотя бы 3 бракованных, равно произведению 1140*2329044905936808562716329842055294154 = 2655111192767961761496616019943035335560.

4. Таким образом, всего 20-ок у нас 339482811302457603895512614793686020778700, а удовлетворяющих критерию, что они содержат хотя бы 3 бракованных -- 2655111192767961761496616019943035335560. Значит, вероятность равна частному этих чисел, т.е. 2655111192767961761496616019943035335560 / 339482811302457603895512614793686020778700. Эту дробь можно сократить до 722 / 92315. Это число примерно равно 0.78%, или 1/127. Таким образом, шансы 1 из 127.

Ответ не сходится. Вероятно, у меня где-то ошибка. Проверяю так и эдак, ошибки не вижу. Просьба помочь. Спасибо.

[iancaple]

Вот тут ошибка

Сергей Маркелов в сообщении #1049904 писал(а):

3. ..Теперь для каждого из этих способов нужно выбрать оставшиеся 17 элементов из оставшихся 997 элементов.

Из 980-ти
Ответ будет меньше. Возможно, еще есть ошибки в счете.
В какой программе умножали? В Excel

=ГИПЕРГЕОМЕТ(3;20;10;1000)

сразу дает ответ А вот теория https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипергеометрическое_распределение , вначале правильная а дальше не читайте.

[grizzly]

Сергей Маркелов в сообщении #1049904 писал(а):

Сколько из этих 20-ок содержат хотя бы 3 бракованных? Для этого нужно посчитать число способов выбрать 3 элемента из 20.

Но здесь у нас есть только 10 бракованных для выбора трёх.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.