Дифференциал при интегрировании

[Pumpov]

Допустим, есть функция 2-х переменных $w(x,y)$, и нужно взять интеграл $\int_{0}^{a}\int_{0}^{b} \frac{\partial w(x,y)}{\partial x}\cos(x)\cos(y) \, dxdy$. Берем по частям:
$\int_{0}^{a}\int_{0}^{b} \frac{\partial w(x,y)}{\partial x}\cos(x)\cos(y) \, dxdy = \int_{0}^{b} \cos(y) dy \int_{0}^{a}\cos(x) \, dw = \int_{0}^{b} \cos(y) dy \cdot(\cos(x) w|^a_0 + \int_{0}^{a}w\sin(x) dx)$
Вопрос: можно ли так делать, ведь строго для $w(x,y)$ : $dw \neq \frac{\partial w(x,y)}{\partial x} dx$, т.к. ещё переменная $y$ есть.

[Brukvalub]

Так делать нельзя.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Каждая формула должна быть заключена в знаки долларов.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Pumpov]

Brukvalub в сообщении #1046008 писал(а):

Так делать нельзя.

Тем не менее в научной статье подобное встретил. Можете привести "контрпример", где видно, что это неправильно?

[ex-math]

Ну почему нельзя, просто запись неаккуратная. Не надо никаких дифференциалов, они здесь несут ложный смысл. Возьмите формулу интегрирования по частям, содержащую производные вместо дифференциалов, и вспомните, что частная производная вполне себе обычная производная, только при фиксированной второй переменной.

[ИСН]

В детали не вникал, но по сути, второй (внешний) интеграл не релевантен для вопроса, и его переменная - тоже. Они всю дорогу как были, так и остались. Ну вот и уберите их; к чему сведётся вопрос?

[Pumpov]

ИСН в сообщении #1046055 писал(а):

В детали не вникал, но по сути, второй (внешний) интеграл не релевантен для вопроса, и его переменная - тоже. Они всю дорогу как были, так и остались. Ну вот и уберите их; к чему сведётся вопрос?

Ясно.

Может только для такой ситуации существует какая-нибудь продвинутая запись, чтоб не путаться? Типа $dw_x$ .

[Someone]

Pumpov в сообщении #1046061 писал(а):

Типа $dw_x$ .

Скорее уж $d_xw$.

А вообще, внутренний интеграл (после расстановки пределов интегрирования) содержит $y$ как постоянный параметр, и на него не надо обращать внимания больше, чем он заслуживает: это просто некоторое число, хотя и не фиксированное. Поэтому по $x$ можно спокойно интегрировать любыми методами, используемыми для интегрирования функций одной переменной.

[Brukvalub]

Я настаиваю: так делать НЕЛЬЗЯ:

Pumpov в сообщении #1046005 писал(а):

...
$\int_{0}^{a}\int_{0}^{b} \frac{\partial w(x,y)}{\partial x}\cos(x)\cos(y) \, dxdy = \int_{0}^{b} \cos(y) dy \int_{0}^{a}\cos(x) \, dw =$...

[ex-math]

Pumpov
Продвинутая запись здесь известна и первокурснику: не пользоваться дифференциалом, а писать производную. О чем Вам уже было сказано.

[Pumpov]

Brukvalub в сообщении #1046080 писал(а):

Я настаиваю: так делать НЕЛЬЗЯ:

Pumpov в сообщении #1046005 писал(а):

...
$\int_{0}^{a}\int_{0}^{b} \frac{\partial w(x,y)}{\partial x}\cos(x)\cos(y) \, dxdy = \int_{0}^{b} \cos(y) dy \int_{0}^{a}\cos(x) \, dw =$...

А Вы почему считаете, что нельзя?

[Brukvalub]

Потому что частная производная не есть полный дифференциал.

[ИСН]

Запись $dw$ в таком контексте невозможна. Каков смысл этих букв? Маленькое приращение $w$ в ответ на маленькое приращение $x$ (по смыслу так)? А как же это понять-то? Особенно что $x$, а не $y$?

[Pumpov]

ИСН в сообщении #1046569 писал(а):

Запись $dw$ в таком контексте невозможна. Каков смысл этих букв? Маленькое приращение $w$ в ответ на маленькое приращение $x$ (по смыслу так)? А как же это понять-то? Особенно что $x$, а не $y$?

Если применить обозначение $d_xw$, тогда всё правильно, кажется.