Поток вектора через поверхность

[MestnyBomzh]

Не могли бы Вы проверить решение?
Вектор: $\vec{a}=xz\vec{i}+yz\vec{j}+z^2\vec{k}$. Нужно найти его поток через внеш. часть $x^2+y^2+z^2 = 9, z>2$.
Я использую след формулу:

$$\oint \oint \limits_{S} (\vec{a},\vec{n})dS= \iiint\limits_{V} \operatorname{div} \vec{a} dxdydz$$

Далее $\operatorname{div} \vec{a} = 4z$ Тогда $\iiint\limits_{V} \operatorname{div} \vec{a} dxdydz = [x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi, z=z] = \int\limits_{0}^{2 \pi} d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{5}} dr \int\limits_{2}^{\sqrt{9-r^2}} 4zr dz = 25 \pi$

[Brukvalub]

Не угадали..Вам бы ТЕОРЕМЫ о формулах прорабатывать, а вы хватаетесь за формулы без теорем. Прямо как в анекдоте про генерала, который на предложение "подумать, как достать банан с пальмы" закричал : "а чего тут думать - трясти надо!!!"

[MestnyBomzh]

Brukvalub
Да я ту задачу на последок отложил

[Brukvalub]

Ну, и сейчас промахнулись, поскольку смысла формула Остроградского не понимаете. Поверхность должна быть замкнута, а ваша поверхность - не замкнута...

[MestnyBomzh]

Не замнкута? Это из-за того, что нер-во строгое : $z > 2$?

[Brukvalub]

А что означают слова "замкнутая поверхность"?

[ex-math]

MestnyBomzh
Дна нет, только покрышка.

[MestnyBomzh]

Я только такое определение нашел: замкнутой поверхностью называется любая ограниченная (компактная) фигура, около каждой своей точки устроенная так же, как обычная плоскость. Вижу аналогию с одномерным случаем определения гладкости кривой. Ну вот, а здесь проблемы и возникают на этой границе, видимо

[Brukvalub]

Если тетрадный листок свернуть в конус (кулек), это будет замкнутая поверхность?

[svv]

Внутрь замкнутой поверхности (будь она гладкая или нет) можно налить водички и потом как угодно трясти её, и водичка не выльется. Потому что у замкнутой поверхности (будь она гладкая или нет) есть внутренность и внешность, и из внутренности во внешность никак нельзя попасть, минуя поверхность.

[MestnyBomzh]

а, теперь понял. тогда кулек незамкнутая
Окей, это я понял, формула Остроградского требует замкнутости поверхности.
Но тогда такая формула: $\prod = \iint\limits_{S} (\vec{a}, \vec{n}) dS = \iint\limits_{S} P dydz + Q dzdx + R dxdy$, насколько я вижу, не требует каких-то особых условий. Тогда, можем выразить $z: z=\sqrt{9-x^2-y^2}$. Получаем $\iint\limits_{S} (-\frac{\partial z}{\partial x} xz - \frac{\partial z}{\partial y} yz + z^2)dxdy = \iint\limits_{S} x^2+y^2 + 9 - x^2 - y^2 dxdy$ Далее, так как проекция - круг с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{5}$, то $ 9\iint\limits_{S} dxdy = 45 \pi$

[svv]

Да, ответ правильный (хотя, может, и попроще можно было).

[MestnyBomzh]

Ага, спасибо! )
Теперь пришло время Стокса

[Terraniux]

svv в сообщении #999513 писал(а):

Внутрь замкнутой поверхности (будь она гладкая или нет) можно налить водички и потом как угодно трясти её, и водичка не выльется. Потому что у замкнутой поверхности (будь она гладкая или нет) есть внутренность и внешность, и из внутренности во внешность никак нельзя попасть, минуя поверхность.

Это не совсем очевидный факт.

[мат-ламер]

svv в сообщении #999513 писал(а):

Внутрь замкнутой поверхности (будь она гладкая или нет) можно налить водички и потом как угодно трясти её, и водичка не выльется. Потому что у замкнутой поверхности (будь она гладкая или нет) есть внутренность и внешность, и из внутренности во внешность никак нельзя попасть, минуя поверхность.

Что здесь подразумевается под замкнутой поверхностью? Ограниченная, без краёв и самопересечений?