делимость ( неделимость)

[rightways]

Существует ли натуральные числа $a$ и $b$ для которых $1-6a-6b$ делит $6ab-a-b$ ?

[nnosipov]

Не существуют, поскольку $-3$ является квадратичным невычетом по модулю любого простого $p \equiv -1 \pmod{6}$.

Эта задача ассоциируется с известной теоремой Эйлера: при любых натуральных $m$ и $n$ число $4mn-m-n$ не может быть точным квадратом. Детали можно узнать у Серпинского "250 задач ..." (стр. 138 и далее).

[Shadow]

У меня сложнее, но к тому же:

$6(a+b)-1 \mid 6ab-(a+b)\;\Rightarrow\; 6(a+b)-1 \mid 36ab-1$

$6a=x,6b=y$

$(x+y-1) \mid (xy-1)$

$\dfrac{xy-1}{x+y=1}=y-\dfrac{y^2-y+1}{x+y-1}$

И тут уже...

В знаменателе $-1 \pmod 3$, a $y^2-y+1$ не имеет таких делителей. Они простые в кольце $Z_{[w]}\text{ где } w^2-w+1=0$