2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 делимость ( неделимость)
Сообщение02.04.2015, 18:02 


24/12/13
353
Существует ли натуральные числа $a$ и $b$ для которых $1-6a-6b$ делит $6ab-a-b$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: делимость ( неделимость)
Сообщение02.04.2015, 18:44 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Не существуют, поскольку $-3$ является квадратичным невычетом по модулю любого простого $p \equiv -1 \pmod{6}$.

Эта задача ассоциируется с известной теоремой Эйлера: при любых натуральных $m$ и $n$ число $4mn-m-n$ не может быть точным квадратом. Детали можно узнать у Серпинского "250 задач ..." (стр. 138 и далее).

 Профиль  
                  
 
 Re: делимость ( неделимость)
Сообщение02.04.2015, 20:14 


26/08/11
2149
У меня сложнее, но к тому же:

$6(a+b)-1 \mid 6ab-(a+b)\;\Rightarrow\; 6(a+b)-1 \mid 36ab-1$

$6a=x,6b=y$

$(x+y-1) \mid (xy-1)$

$\dfrac{xy-1}{x+y=1}=y-\dfrac{y^2-y+1}{x+y-1}$

И тут уже...

В знаменателе $-1 \pmod 3$, a $y^2-y+1$ не имеет таких делителей. Они простые в кольце $Z_{[w]}\text{ где } w^2-w+1=0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group