Упорядочивание несчётных множеств

[Geen]

(Оффтоп)

svv в сообщении #999184 писал(а):

PSP в сообщении #999177 писал(а):

"Пусть X — множество непустых попарно непересекающихся множеств. Тогда мы можем выбрать единственный элемент из каждого множества в X. "
...
Вопрос у меня такой : какие следствия вызовет замена единственный элемент на ,например, только 2 элемента ?

А как Вы понимаете в исходной формулировке слово «единственный»? Существует такой элемент, который мы можем выбрать, а все остальные не можем? Можем выбрать один элемент, а после этого второй, отличный от него, уже не сможем?

А континуум можем (если мощности позволяют)?

[PSP]

svv в сообщении #999184 писал(а):

PSP в сообщении #999177 писал(а):

"Пусть X — множество непустых попарно непересекающихся множеств. Тогда мы можем выбрать единственный элемент из каждого множества в X. "
...
Вопрос у меня такой : какие следствия вызовет замена единственный элемент на ,например, только 2 элемента ?

А как Вы понимаете в исходной формулировке слово «единственный»? Существует такой элемент, который мы можем выбрать, а все остальные не можем? Можем выбрать один элемент, а после этого второй, отличный от него, уже не сможем?

Я ,как физик,подхожу к этому следующим образом - единственный элемент - этот тот,который мы можем отличить от других элементов - типа нарисовать на нём,например,номер..

(Оффтоп)

Отвечать на вопрос Geen я бы не взялся...

[svv]

Так они все хорошо различимы: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое $M$ определённых хорошо различимых предметов $m$ нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества $M$).» (Кантор)

Так что же, один, от силы два выбрать можем, а дальше что-то может помешать?

[PSP]

svv в сообщении #999193 писал(а):

Так они все хорошо различимы: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое $M$ определённых хорошо различимых предметов $m$ нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества $M$).» (Кантор)

Так что же, один, от силы два выбрать можем, а дальше что-то может помешать?

В стандартной аксиоме выбора можно выбирать только один элемент.Любой.
В расширенной - только два элемента,только пару элементов.Любую,но пару.

Не важно,каковы причины такого ограничения.Это же аксиомы.

[warlock66613]

PSP в сообщении #999198 писал(а):

В стандартной аксиоме выбора можно выбирать только один элемент.

Что значит "только один"? Что два выбрать нельзя? Тогда, как несложно заметить, ваша формулировка противоречива, в отличие от стандартной аксиомы выбора.

[Geen]

svv в сообщении #999193 писал(а):

Так что же, один, от силы два выбрать можем, а дальше что-то может помешать?

Ну, вообще говоря, множество может исчерпаться.

[svv]

PSP в сообщении #999198 писал(а):

В стандартной аксиоме выбора можно выбирать только один элемент.Любой.

Ну, не «любой», а «какой дадут». Изначально — существует функция выбора $f$, выбирающая из каждого множества $X_i$ один элемент $a_i$. И всё.

Но если такая функция существует, мы можем рассмотреть новое семейство множеств, в котором каждое множество $X'_i$ получено из $X_i$ изъятием выбранного элемента: $X'_i=X_i\setminus \{a_i\}$.
Теперь применим AC к новому семейству. Она опять гарантирует существование функции $f'$, которая выберет из каждого множества $X'_i\subset X_i$ некоторый элемент $b_i$. Так мы получим пары $\{a_i, b_i\}$, а потом тройки $\{a_i, b_i, c_i\}$ и т.д.

С другой стороны, если Ваша аксиома гарантирует функцию, выбирающую пары, то я из каждой пары возьму первый элемент и получу опять-таки AC.

[g______d]

svv в сообщении #999309 писал(а):

Ваша аксиома гарантирует функцию, выбирающую пары

Я думаю, имелись в виду неупорядоченные пары, т. е. двухэлементные подмножества.

[PSP]

g______d в сообщении #999317 писал(а):

svv в сообщении #999309 писал(а):

Ваша аксиома гарантирует функцию, выбирающую пары

Я думаю, имелись в виду неупорядоченные пары, т. е. двухэлементные подмножества.

Совершенно верно.

[whitefox]

(Да, я зануда)

g______d в сообщении #999317 писал(а):

Я думаю, имелись в виду неупорядоченные пары, т. е. двухэлементные подмножества.

Неупорядоченная пара может иметь одинаковые элементы, а потому не будет двухэлементным множеством, но двухэлементным мультимножеством будет.

[aa_dav]

А вот кстати, как раз к вопросу об упорядоченности.
Возьмём отрезок $[0;1]$ и точно знаем что 0 здесь самое маленькое число из всего отрезка, вычёркиваем, получаем $(0;1]$ и со следующим "самым малым" получаем классический затык - для любого $x$ найдет меньшее $x/2$. Насколько я понимаю такое дело общепринято называется открытым множеством и делается вывод, что в нём нет элемента меньшего всех прочих. По сути как раз крест на упорядоченности ставится путём "наименьшего".
Но вот беспокоит меня (и не только в данном вопросе) один момент - само такое рассуждение основывается на ряде шагов "для любого $f(t)$ есть другое $f(t+1)$", где $t$ - номер шага и получается что доказательно принимает вид... как бы это сказать... "счётной индукции". Что имеется ввиду - когда мы доказываем, что, например, не существует натурального большего любого другого натурального мы точно так же говорим "для любого $N$ есть большее $N+1$, а значит никакое $N$ самым большим быть не может". Это очень логично и правильно, но применимы ли подобной структуры рассуждения на несчётных множеств? Ведь даже доказательство Кантора о несчётности собственно вещественных идёт похожим путём, но делает разворот в самом конце, что "для любого $f(N)$ существует $f(N+1)$, а значит мы не охватили в этой таблице (а по сути в этом ряде шагов) все вещественные, они существуют за её пределами". Т.е. возникает каверзный вопрос - а вправе ли мы делать то что я назвал "счётной индукцией" выше базисом для каких ли бы то ни было рассуждений о вещественных? Нет ли такой подковырки, что вещественные они априори находятся за пределами любых попыток их пересчитать в явной или неявной форме?

[PSP]

aa_dav в сообщении #999331 писал(а):

А вот кстати, как раз к вопросу об упорядоченности.
Возьмём отрезок $[0;1]$ и точно знаем что 0 здесь самое маленькое число из всего отрезка, вычёркиваем, получаем $(0;1]$ и со следующим "самым малым" получаем классический затык - для любого $x$ найдет меньшее $x/2$. Насколько я понимаю такое дело общепринято называется открытым множеством и делается вывод, что в нём нет элемента меньшего всех прочих. По сути как раз крест на упорядоченности ставится путём "наименьшего".
Но вот беспокоит меня (и не только в данном вопросе) один момент - само такое рассуждение основывается на ряде шагов "для любого $f(t)$ есть другое $f(t+1)$", где $t$ - номер шага и получается что доказательно принимает вид... как бы это сказать... "счётной индукции". Что имеется ввиду - когда мы доказываем, что, например, не существует натурального большего любого другого натурального мы точно так же говорим "для любого $N$ есть большее $N+1$, а значит никакое $N$ самым большим быть не может". Это очень логично и правильно, но применимы ли подобной структуры рассуждения на несчётных множеств? Ведь даже доказательство Кантора о несчётности собственно вещественных идёт похожим путём, но делает разворот в самом конце, что "для любого $f(N)$ существует $f(N+1)$, а значит мы не охватили в этой таблице (а по сути в этом ряде шагов) все вещественные, они существуют за её пределами". Т.е. возникает каверзный вопрос - а вправе ли мы делать то что я назвал "счётной индукцией" выше базисом для каких ли бы то ни было рассуждений о вещественных? Нет ли такой подковырки, что вещественные они априори находятся за пределами любых попыток их пересчитать в явной или неявной форме?

Вы правы, осознавая важность подобных моментов.Ибо это имеет не только математическое,но,как ни странно, и физическое значение...

[Brukvalub]

aa_dav в сообщении #999331 писал(а):

...Ведь даже доказательство Кантора о несчётности собственно вещественных идёт похожим путём, но делает разворот в самом конце, что "для любого $f(N)$ существует $f(N+1)$, а значит мы не охватили в этой таблице (а по сути в этом ряде шагов) все вещественные, они существуют за её пределами". Т.е. возникает каверзный вопрос - а вправе ли мы делать то что я назвал "счётной индукцией" выше базисом для каких ли бы то ни было рассуждений о вещественных? Нет ли такой подковырки, что вещественные они априори находятся за пределами любых попыток их пересчитать в явной или неявной форме?

Это "поток сознания"? Не нужно приписывать математике свою безграмотность.
Приведите ТОЧНЫЕ рассуждения из доказательств теорем, которые вам непонятны, не подменяя их перлами типа "Ведь даже доказательство Кантора о несчётности собственно вещественных идёт похожим путём, но делает разворот в самом конце, что "для любого $f(N)$ существует $f(N+1)$", которые понятны только вам.
Всем, изучившим курс теории множеств, понятны рассуждения о сравнении мощностей, методы математической и трансфинитной индукций, смысл аксиомы Цермело и прочих общепризнанных верными инструментов теории множеств.
Не нужно подменять свою безграмотность "неустранимыми противоречиями в теории множеств", говоря об этих "противоречиях" туманными обрывками фраз!

[aa_dav]

Brukvalub в сообщении #999337 писал(а):

...для любого $f(N)$ существует $f(N+1)$", которые понятны только вам...

Ну там строится таблица и путём диагонального вычёркивания цифр приводится процедура построения вещественного которое в любой позиции $N$ в ней не находится. Т.е. оно и не тут и не там, всегда отодвигается в бесконечность такое построение (всё время есть $N+1$ с вычеркнутой другой цифрой).

[Brukvalub]

aa_dav в сообщении #999339 писал(а):

Brukvalub в сообщении #999337 писал(а):

...для любого $f(N)$ существует $f(N+1)$", которые понятны только вам...

Ну там строится таблица и путём диагонального вычёркивания цифр приводится процедура построения вещественного которое в любой позиции $N$ в ней не находится. Т.е. оно и не тут и не там, всегда отодвигается в бесконечность такое построение (всё время есть $N+1$ с вычеркнутой другой цифрой).

При таких "точных" знаниях о доказательствах могут любые ужасы привидеться.
Пока с вами нет смысла вести "беседы за математику", вот подучитесь, научитесь ТОЧНО формулировать свои мысли, тогда и приходите. И больше не волнуйтесь о "проблемах" математической индукции - "зуб даю и век мне воли ни видать" - их нет!