Запись угловых миноров/определителя матрицы в общем виде

[trarbish]

Добрый день! Сразу прошу прощения, если выбрал не ту тему, в которой нужно было создавать топик. Но мне этот раздел показался наиболее подходящим.

Допустим есть матрица $A$ (симметричная и квадратная), которая имеет вид:
\begin{pmatrix} a_1+a_2 & -a_2 & 0 & ... & 0\\ -a_2 & a_2+a_3 & -a_3 & 0 & ... & 0 \\ 0 & -a_3 & a_3+a_4 & -a_4 & ... & 0 \\ ...& ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & -a_{n} & a_n+a_{n+1} \end{pmatrix}$
Т.е. любая в любой строке (кроме первой и последней) есть только три ненулевых элемента, идущие один за другим $-a_i \;\;\; a_i + a_{i+1} \;\;\; -a_{i+1}$
Для такой матрицы, если требуется определить положительно она определенная или нет, легко получить общую формулу для угловых миноров и затем сравнивать их с нулем (критерий Сильвестра): $\sum_{j=1}^{n+1}\;\;\;(\prod_{i=1,i \neq j}^{n+1} a_i )$

Теперь вопрос. Матрица $B$ равна матрице $A$ плюс матрицe, у которой все элементы равны переменной $t$:

$\begin{pmatrix} t & t & ... & t\\ ...& ... & ... & ... \\ t & ... & ... & t \end{pmatrix}$

Возможно ли для такой матрицы $B$ тоже составить лаконичную формулу для миноров, чтобы определить положительную или отрицательную определенность? Или есть другие идеи, как это определять?

[svv]

Пусть $C$ — матрица, у которой все элементы единицы (следовательно, $B=tC$). Тогда
$\det (A+tC)=\det A(1+t\;S(A^{-1}))$, или
$\det (A+tC)=\det A+t\;S(\operatorname{adj}(A))$
Здесь
$S(...)$ — сумма всех элементов матрицы,
$\operatorname{adj}(...)$ — присоединённая матрица.
Первая формула понятнее, зато вторая имеет смысл и в случае, если $A$ вырождена.

Отсюда (если это не очевидно из линейности определителя по каждой строке) следует, что $\det (A+tC)$ линейно зависит от $t$.

[trarbish]

Спасибо большое! Тоже нашел формулу для определителя суммы матриц, и сделал преобразования.
Правильно я понимаю, что в индексной форме решение записать не получится? Определитель А можно записать $\det(A) = \sum_{j=1}^{n+1}\;\;\;(\prod_{i=1,i \neq j}^{n+1} a_i )$, а вот что делать с \operatorname{adj}A?

[trarbish]

trarbish в сообщении #998812 писал(а):

Правильно я понимаю, что в индексной форме решение записать не получится? Определитель А можно записать detA = $\sum_{j=1}^{n+1}\;\;\;(\prod_{i=1,i \neq j}^{n+1} a_i )$, а вот что делать с adj(A)?

Рассмотрел случай, когда в матрице $A$ все $a_i=a. У меня получилось, что $\operatorname{adj}A$= $\frac{(n^4+4n^3+5n^2+2n)a^{n-1}}{12}, где $n$ - количество строк и столбцов в матрице. Т.е. получилось вывести формулу для частного случая с одинаковыми a. Значит ли это, что можно получить общую формулу и для случая, когда все a разные?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

trarbish
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[svv]

trarbish в сообщении #998812 писал(а):

Правильно я понимаю, что в индексной форме решение записать не получится?

Не уверен, что точно понял Ваш вопрос и что следующие формулы Вам как-то помогут.

Определитель матрицы $n$-го порядка с помощью индексных обозначений можно записать так:
$\det A=\dfrac 1{n!}\delta^{k_1}_{i_1}{}^{...}_{...}{}^{k_n}_{i_n}a^{i_1}_{k_1}...a^{i_n}_{k_n}$
Здесь $\delta^{...}_{...}$ — обобщенный символ Кронекера.
Здесь и далее верхний индекс матричного элемента — номер строки, нижний — номер столбца.
(Более известна форма записи с помощью символа Леви-Чивиты, но она здесь меньше подходит.)

В этом же духе можно записать элемент присоединенной матрицы $C=\operatorname{adj}A$:
$c^{k_1}_{i_1}=\dfrac 1{(n-1)!}\delta^{k_1}_{i_1}{}^{...}_{...}{}^{k_n}_{i_n}a^{i_2}_{k_2}...a^{i_n}_{k_n}$

Upd: подправил индексы.