2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение29.03.2015, 11:01 


13/04/12
60
Lviv
Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Столкнулся со следующей задачей о пирамиде:
У правильной пирамиды $PABCD$ с вершиной $P$ проведено сечение через сторону $AB$ и середину бокового ребра $PC$. В каком отношении это сечение делит объем пирамиды?

Мой рисунок:
Изображение

Свои шаги сейчас напишу :-)

-- 29.03.2015, 10:08 --

Итак, поскольку пирамида правильная, то в основе лежит квадрат. Введем обозначения:
$$AB=BC=CD=AD=a$$
$$PA=PB=PC=PD=l$$
Таким образом, объем всей пирамиды:
$$V = \frac{1}{3}a^2\sqrt{l^2-\frac{a^2}{2}}$$

-- 29.03.2015, 10:21 --

Теперь, как я понимаю, нужно найти объем пирамиды $ABFEP$.
В ее основе лежит трапеция $ABFE$.
По условию: $PF=FC=l/2$. Видно также, что $PE=ED=l/2$.
$EF=a/2$ - как средняя линия треугольника $DPC$.

Из треугольника $APD$:
$$\cos{ADP}=\frac{a}{2l}$$

Из треугольника $AED$ по теореме косинусов:
$$AE=\sqrt{a^2+l^2/4-2la/2\cos{ADP}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{l^2}{4}}$$

-- 29.03.2015, 10:29 --

Высота $LK$ трапеции:
$$LK=\sqrt{AE^2-\frac{a^2}{16}} = \sqrt{\frac{7a^2}{16}+\frac{l^2}{4}}$$
Таким образом, можем уже найти площадь трапеции:
$$S_{ABFE}=\frac{3a}{8}\sqrt{7a^2+4l^2}$$

-- 29.03.2015, 10:34 --

Итак, остается только найти высоту пирамиды $ABFEP$, или, что то же самое, высоту треугольника $LPK$.

Но что-то это все мне кажется очень сложным. Нет ли у вас какой нибудь идеи получше? Как решить задачу более элегантно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение29.03.2015, 12:24 


13/04/12
60
Lviv
Поправка:
$$S_{ABFE}=\frac{3a}{16}\sqrt{7a^2+4l^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение29.03.2015, 14:08 
Заслуженный участник


03/01/09
1230
москва
Проведем прямую через точки $P,K$ до пересечения со стороной $DC$ в точке $G$. Фигура под секущей плоскостью составлена из трех пирамид: $ABEFG, AEDG$ и $AFCG.$ Очевидно $ V_{ABEFG}=V_{ABEFP}=x$. Обозначим $V$ -объем исходной пирамиды, $V_0$ -объем пирамиды $AEDG$, тогда $V-x=x+2V_0$ и, следовательно, $x=\dfrac V2 -V_0$. Теперь можно искать нужное нам отношение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение29.03.2015, 14:16 


10/09/14
138
Никакие объемы считать не нужно. Отношение объемов отсекаемой (верхней части) треугольной пирамиды к объему всей пирамиды равно произведению отношений
длин ребер отсекаемой и основной.Отсюда легко находятся отношение объемов двух частей, получаемых от пересечения основной пирамиды плоскостью.
Данную пирамиду нужно разбить на две равных треугольные и использовать вышесказанное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение29.03.2015, 14:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
Если разбить пирамиду пополам вертикальным сечением $PBD$ и взять ближние к нам верхнюю и нижние части, то объём верхней будет в два раза меньше объёма половины исходной пирамиды и, следовательно, равен четверти всего объёма. При этом объём отрезанной верхней части составляет две трети объёма всей верхней (именно в таком соотношении делится трапеция $ABFE$ при проведении в ней диагонали). Итого объём всей верхней части -- три восьмых объёма всей пирамиды и, соответственно, три пятых объёма всей нижней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение29.03.2015, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5466
Из сравнения площадей оснований при общих высотах имеем $V_{ABED}=\frac12V_{ABPD}$ и $V_{BEFCD}=\frac34V_{BPCD}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение29.03.2015, 15:30 


01/12/11

1047
Медиана $AE$ делит $\bigtriangleup APD$ на два равновеликих. Следовательно, плоскость $ABFE$ делит объём пирамиды пополам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение29.03.2015, 16:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Skeptic в сообщении #997378 писал(а):
Медиана $AE$ делит $\bigtriangleup APD$ на два равновеликих. Следовательно, плоскость $ABFE$ делит объём пирамиды пополам.

Ага, а карась икру метал, за что его почитают все металлисты! :D
Вы бы, прежде чем бред писАть, потрудились бы почитать написанное перед вами, там уже есть простое и правильное решение, написанное ewert-том.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение29.03.2015, 16:59 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
Но вообще-то разумнее считать совсем иначе. Лучше вообще забить на верхнюю часть -- там требуется определённое напряжение фантазии, в то время как с нижней всё вполне прозрачно и в лоб. Нижняя вертикальными сечениями естественным образом разбивается на три части, центральная из которых представляет из себя положенную на прямоугольный бок треугольную призму, а две крайних объединяются в четырёхугольную пирамидку, причём с ровно тем же прямоугольным основанием, что и призма. Объём пирамидки равен одной трети своего основания на высоту, объём призмы -- одной второй. Итого в сумме пять шестых полуоснования на полувысоту всей пирамиды, т.е. пять двадцать четвёртых полных основания на высоту, т.е. пять восьмых объёма всей пирамиды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение29.03.2015, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5466
ewert
Зачем же так усложнять?
Но если можно приводить полные решения, то и я своё распишу подробно, хотя мне странно, что это потребовалось (а сразу не хотел, чтоб не привлекать внимание модераторов).

$V_{ABED}=\frac12V_{ABPD}$, поскольку $BE$ -- медиана треугольника $BPD$.
$V_{BEFCD}=\frac34V_{BPCD}$, поскольку $EF$ -- средняя линия треугольника $PDC$.
Следовательно, объём нижней части равен $V_{\text{ниж}}=V_{ABED}+V_{BEFCD}=\frac12V_{ABPD}+\frac34V_{BPCD}=\frac14V+\frac38V=5/8V$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение29.03.2015, 17:37 
Заслуженный участник


11/05/08
31483

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #997423 писал(а):
$V_{BEFCD}=\frac34V_{BPCD}$

Это слишком сложно, на мой вкус. Это примерно эквивалентно по уровню сложности моему первому варианту, который, как мне кажется, гораздо хуже моего же второго.

Впрочем, на вкус и цвет товарищей нет. Из предложенных здесь подходов вполне разумными мне кажутся также варианты mihiv и redicka (хотя я в них и не вдумывался за леностью). А остановился на своём последнем потому, что он показался мне наиболее тупым (что есть безусловное достоинство).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение29.03.2015, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5466

(Оффтоп)

ewert
Спасибо за пояснение. Когда "сживаешься" со своим решением, оно как-то архивируется (идейно) в понимании и представляется совершенно простым. Так что спорить не буду -- это как раз тот случай, когда лучше доверить мнению со стороны.
Всё собираюсь поднять тему "понимание" в Свободном полёте, чтобы обсудить подобные вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение01.04.2015, 06:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4627
Нов-ск
А вот правильное решение. Нижняя часть без $ACDE=1/4$ равна верхней, поэтому верхняя равна $(1-1/4)/2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение пирамиды. В каком отношении делиться объем?
Сообщение01.04.2015, 08:19 


23/01/07
3198
Новосибирск
Как вариант: К пирамиде $PABCD$ пристраиваем аналогичную - $P'CDD'C'$. Соединяем $P$ и $P'$. Получим тетраэдр $PP'CD$. Затем рассматриваем, на какие части делит плоскость сечения $ABFE$ объем полученного тетраэдра (при этом имеем в виду, что объем тетраэдра в $2$ раза меньше объема исходной пирамиды). В оконцовке вычитаем из объема пирамиды $P'ABCD$ ненужное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group