Группы и подгруппы

[Sinoid]

Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, нежданно-негаданно пришедшее понимание доказательства.
Итак, банальная теорема, доказательство которой я до этого дня до конца не понимал: порядок любой подгруппы делит порядок группы.
Объяснение. Пусть в группе $G$ порядка $n$ взята подгруппа $A$ порядка $m$. Я рассматриваю левые классы. Беру элемент $g_1\notinA$, образую класс $g_1A$. Классы $A$ и $g_1A$ не имеют общих элементов, это понятно. Пусть уже построено $i$ классов: $A,\,g_1A,\,\dots,g_{i-1}A$. Допустим, после этого в группе осталось $r$ элементов. Если $r\geq m$, то, беря какой-либо элемент $g_i$ из этих оставшихся $r$ элементов, получаю новый класс $g_iA$. Тут все ясно и неинтересно. Недопонимание было, когда $r<m$ и $r\ne0$. Итак, допустим, что после построения $i$ классов смежности в группе осталось $r$ элементов $r<m$ и $r\ne0$. Беру какой-либо элемент $a$ из этих оставшихся $r$ элементов. Из этого элемента $a$ я с таким же успехом могу построить новый класс $aA$, в котором $m$ элементов. Эти элементы опять-таки не входят в предыдущие классы. Но этого не может быть, ибо после построения первых $i$ классов смежности в группе осталось $r$ элементов, которое меньше $m$. Я верно понимаю? Может быть, такое подробное описание и излишне, но его мне так не хватало.

[bot]

Зачем всё это? Все классы равномощны и пересекаются по пустому - это Вы поняли. Объединение их - вся группа. Сколько элементов в объединении и сколько в группе?

[nnosipov]

100 тысяч зрителей по одному рублю --- это будет ... сумасшедшие деньги! (с)

[Sinoid]

bot в сообщении #998536 писал(а):

Зачем всё это? Все классы равномощны

Равномощны-то они равномощны, но в доказательствах я нигде не вижу обоснования того, что всякий элемент группы попадет в определенный смежный класс. Вот как доказывает Смирнов:

Здесь вместо доказательства этого предложения он просто пишет: "Положим, что путем конечного числа таких операций мы исчерпаем все элементы группы $G$", а из чего видно, что исчерпаются именно все элементы группы, ИМХО, не понятно.
А вот как у Коруша по этому поводу:

(Оффтоп)

Внимание! Все, что исходит с моего компа, не скачивать: у меня вирус!

Отсюда я также нахожу доказанным, что два любых смежных класса группы $G$
по подгруппе $A$ или совпадают или же не имеют общего элемента, но я не вижу здесь опять-таки доказательства того, что любой элемент группы обязательно попадет в определенный смежный класс. Объясните, пожалуйста.

[AV_77]

Sinoid в сообщении #998661 писал(а):

но я не вижу здесь опять-таки доказательства того, что любой элемент группы обязательно попадет в определенный смежный класс

Как ни странно, но элемент $x$ лежит в смежном классе $xA$ так как $A$ содержит единичный элемент.

[mihailm]

Sinoid в сообщении #998661 писал(а):

...не вижу обоснования того, что всякий элемент группы попадет в определенный смежный класс
...Здесь вместо доказательства этого предложения он
...но я не вижу здесь опять-таки доказательства...

Sinoid, вы в упор не видите нормальных доказательств в сочинениях классиков, с чего это вы увидите доказательства в словах простых смертных форума?

[Sinoid]

AV_77 в сообщении #998664 писал(а):

Как ни странно, но элемент $x$ лежит в смежном классе $xA$ так как $A$ содержит единичный элемент.

При построении класса берется определенный элемент да и класс состоит из определенных элементов, эти элементы можно увидеть, написать, а вот какие элементы не входят в уже построенные классы, вообще говоря, и не опишешь: как их увидеть?

mihailm в сообщении #998666 писал(а):

вы в упор не видите нормальных доказательств в сочинениях классиков

Во-первых, именно поэтому я сюда и написал, может, кто из уважаемых участников подтолкнет в нужную сторону, а, во-вторых, если он классик, его, что, уже и поанализировать нельзя? Вспомните Ньютона и Эйнштейна, теория тяготения...

[Kras]

Sinoid
Я читаю Алексеева-Арнольда "Теорема Абеля", там есть ответ на ваш вопрос. Найдите задачу №60.

[mihailm]

Sinoid, дело не в том можно или не можно анализировать учебники (Смирнов правда немного архаичен, но если не писать кандидатскую по алгебре то хватит), а в том, что учебниках по математике для математиков в принципе такой ситуации быть не может: написано (или подразумевается) доказательство, а его там нет!

[Cash]

Для каждого элемента группы $x$ строим класс $xA$. В результате каждый элемент группы окажется, как минимум, в одном классе, поскольку

AV_77 в сообщении #998664 писал(а):

Как ни странно, но элемент $x$ лежит в смежном классе $xA$ так как $A$ содержит единичный элемент.

[Brukvalub]

Sinoid в сообщении #998672 писал(а):

AV_77 в сообщении #998664 писал(а):

Как ни странно, но элемент $x$ лежит в смежном классе $xA$ так как $A$ содержит единичный элемент.

При построении класса берется определенный элемент да и класс состоит из определенных элементов, эти элементы можно увидеть, написать, а вот какие элементы не входят в уже построенные классы, вообще говоря, и не опишешь: как их увидеть?
...

Вы троллите? Вам же ясно НАПИСАЛИ: каждый элемент группы входит в тот смежный класс, который этот элемент порождает. Переберите все элементы группы и каждому из них сопоставьте порождаемый этим элементом смежный класс. Эти классы для разных элементов или совпадают, или не пересекаются. В чем ЕЩЕ проблема?

[Sinoid]

mihailm в сообщении #998678 писал(а):

написано (или подразумевается) доказательство, а его там нет!

Во-первых, я не говорю, что его там нет. Я говорю, что я в рамках своих знаний, его там не вижу и потому придумал свое (почему бы и нет!), близкое и понятное мне. Если вы видите ошибку в нем, укажите на нее. Все остальное у меня (насколько я помню) прекрасно стыкуется, по крайней мере, пока. Во-вторых, мне так и не ответили, допустимо ли мое доказательство, но, судя по вот этому,

bot в сообщении #998536 писал(а):

Зачем всё это?

допустимо. Так ведь?

Kras в сообщении #998677 писал(а):

Я читаю Алексеева-Арнольда "Теорема Абеля", там есть ответ на ваш вопрос. Найдите задачу №60.

Там мое доказательство? Просто скакать с книги на книгу не охото: если доказательство верно, чего топтаться на месте? Я не говорю, что в книге, упомянотой вами, доказательство плохое, просто один и тот же факт можно доказывать по-разному.

-- 01.04.2015, 01:21 --

Brukvalub в сообщении #998681 писал(а):

Вы троллите?

Не имею такой гадкой привычки. А пока извините, пожалуйста, мне ужинать пора. Может, еще сегодня успею что-нибудь написать, а нет-так завтра. Вы уж, пожалуйста не сочтите за труд пообщаться со мной потом.

[Brukvalub]

Наконец-то, я понял, в чем проблема! Классики написали так, что вы их не поняли, поэтому это непонимание вы поставили в вину именно классикам. Ну, не себя же вам винить!
"Ваше" доказательство - "кривое", после его прочтения у начинающего непременно возникнет масса нелепых вопросов. Именно поэтому опытные педагоги его не приемлют.

[Kras]

Sinoid в сообщении #998692 писал(а):

Там мое доказательство?

Нет. Но там очень простое доказательство.

[Hasek]

Brukvalub в сообщении #998681 писал(а):

Эти классы для разных элементов или совпадают, или не пересекаются

Подскажите, пожалуйста, почему для разных элементов смежные классы могут совпасть? Не очень это понимаю.