малые колебания

[Oleg Zubelevich]

Однородное тонкое кольцо массы $m$ радиуса $R$ висит и качается без проскальзывания на неподвижном диске радиуса $r$. Неподвижный диск на рисунке заштрихован. Найти период малых колебаний системы.

[mihiv]

Уравнение малых колебаний имеет вид:

$$\ddot \varphi +\dfrac g{2(R-r)}\varphi =0$$

где $\varphi $- угол между вертикалью и отрезком, соединяющим центры диска и кольца. Отсюда $T=2\pi \sqrt {\dfrac {2(R-r)}g}$.

[Oleg Zubelevich]

угу, теперь если кто из студентов захочет себя проверить -- правильный ответ есть

[svv]

И у меня тот же ответ.

(Оффтоп)

$I=2mR^2$ (относительно точки касания — мгновенного центра вращения)
$\omega=\left(1-\frac r R\right)\dot{\varphi}$
$T=\frac 1 2 I\omega^2=\frac 1 2 2mR^2 \left(1-\frac r R\right)^2\dot{\varphi}^2$
$U=mg(R-r)(1-\cos\varphi)$
$2(R-r)\ddot\varphi+g\sin\varphi=0$